表 2-18 某地区农业收成变化的状态转移情况

年份	1950	1951	1952	1953	1954	1955	1956	1957	1958
序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9
状态	E1	E1	E2	E3	E2	E1	E3	E2	E1
年份	1960	1961	1962	1963	1964	1965	1966	1967	1968
序号	11	12	13	14	15	16	17	18	19
状态	E3	E1	E2	E3	E1	E2	E1	E3	E3
年份	1970	1971	1972	1973	1974	1975	1976	1977	1978
序号	21	22	23	24	25	26	27	28	29
状态	E3	E3	E2	E1	E1	E3	E2	E2	E1
年份	1980	1981	1982	1983	1984	1985	1986	1987	1988
序号	31	32	33	34	35	36	37	38	39
状态	E1	E3	E2	E1	E1	E2	E2	E3	E1

状态变化情况。以下，我们来计算该地区农业收成变化的状态转移概率矩阵。

从表 2-18 中可知，在 15 个从 E1 出发（转移出去)的状态转移中，有 3 个是从 E1 转移到 E1 的（即 1→2，24→25，34→35)，有 7 个是从 E1 转移到 E2 的（即 2→3，9→10，12→13，15→16，29→30，35→36，39→40)，有 5 个是从 E1 转移到 E3 的（即 6→7，17→18，20→21，25→26，31→32)。

故

P = P（E →E ） = P（E ｜E ） = 3

= 0.2000

11 1 1 1 1 15

P = P（E →E ） = P（E ｜E ） = 7

= 0.4667

12 1 2 2 1 15

按照上述同样的办法计算可以得到

P21 = P（E2 →E1 ） = P（E1 │E2 ） = 13 = 0.5385

P = P（E →E ） = P（E │E ） = 2

= 0.1538

22 2 2 2 2 13

P23 = P（E 2 →E3 ） = P（E3 │E2 ） = 13 = 0.3077

P = P（E →E ） = P（E │E ） = 4

= 0.3636

31 3 1 1 3 11

P32 = P（E3 →E2 ） = P（E 2 │E3 ） = 11 = 0.4545

P = P（E →E ） = P（E │E ） = 2

= 0.1818

33 3 3 3 3 11

所以，该地区农业收成变化的状态转移概率矩阵为

P =

(5)

二、马尔可夫预测法

为了运用马尔可夫预测法对事件发展过程中状态出现的概率进行预测，还需要再介绍一个名词：状态概率πj（k)。πj（k)表示事件在初始（k=0) 时状态为已知的条件下，经过 k 次状态转移后，第 k 个时刻（时期)处于状态Ej 的概率。根据概率的性质，显然有：

∑ π j （k） = 1

J =1

（6）

从初始状态开始，经过 k 次状态转移后到达状态 Ej 这一状态转移过程，可以看作是首先经过（k-1)次状态转移后到达状态 Ei（i=1，2，⋯，n)，然后再由 Ei 经过一次状态转移到达状态 Ej。根据马尔可夫过程的无后效性及Bayes 条件概率公式，有

π j (k) = ∑πi(k - 1)Pij ( j = 1，2，，n) (7)

i=1

若记行向量π(k)=[π1(k)，π2(k)，⋯，πn(k)]，则由(7)式可得逐次计算状态概率的递推公式：

π(1) = π(0)P

π(2) = π(1)P = π（0）P²

 (8)



π(k) = π(k - 1)P = = π(0)Pk

（8)式中，π（0)=[π1 （0)，π2 （0)，⋯，πn（0)]为初始状态概率向量。

（一)第 k 个时刻（时期)的状态概率预测

由上述分析可知，如果某一事件在第 0 个时刻（或时期)的初始状态已知

（即π（0)已知)，则利用递推公式（8)式，就可以求得它经过 k 次状态转移后，在第 k 个时刻（时期)处于各种可能的状态的概率（即π（k))，从而得到该事件在第 k 个时刻（时期)的状态概率预测。

在前例中，如果将 1989 年的农业收成状态记为π（0)=[0，1，0]（因为

1989 年处于“平收”状态)，则将状态转移概率矩阵（5)式及π（0)代入递

推公式（8)式，就可以求得 1990—2000 年可能出现的各种状态的概率（见表2-19)。