表 12-4 区域间的投入产出表

在表 12-4 中，假设区域地理系统包含了 m 个区域，每一个区域有 n 个部门，表中记号的上标表示区域，下标表示部门，如：

x^pq 表示p区域供应q区域的第i部门产品用于第j部门生产消耗的数量；

y^pq 表示p区域供应q区域的第i部门产品用作q地区最终产品的数量。

当q = m + 1时，y^p,m+1i就表示p区域生产的第i部门产品满足整个大区

域(即区域地理系统)最终需求的数量。

y^po表示p区域生产的第i部门产品用作各个区域及大区的最终产品

数量之和，即：

m+1

ypo = ypq

i i

q =1

y^qp表示q区域从各个区域得到的第i部门最终产品数量之和，即：

ypq = ∑y pq

i i

p=1

v^q ，m^q，x^q分别表示q区域j部门的劳动报酬，纯收入及总产

j j j

出。

从表 12-4 的水平方向来看，有如下的平衡关系：

m m p = 1, 2, , m

∑∑x^pq + y^po = x^p 

 (13)

ij i

q=1 j=1

ⁱ  i = 1, 2, , n 

(13)式反映了各区域各部门产品的生产与分配使用情况。从表 12-4 的垂直方向看，有如下平衡关系：

m n  q = 1, 2, , m

∑∑x^pq + v^q + m^q

= x^q 

 (14)

ij

p=1 i=1

^{j j j}  j = 1,

2, , n

照前面的作法，我们引入分区产品直接消耗系数a ^pq的概念，它表示q

区域生产单位 j 种产品消耗的 p 区域供应的第 i 种产品的数量，即：

a pq =

^pq p,

ij 

q = 1,

2, , m



(15)

ij q

j

 i,

j = 1,

2, , n 

将(15)式分别代入(13)式和(14)式得：

m n p = 1, 2, , m

∑∑a^pqx^q + y^po = x^p 

 (16)

ij j i

q=1 j=1

和

ⁱ  i = 1,

2, , n

m n  q = 1, 2, , m

∑∑a^pqx^q + v^q + m^q

= x^q 

 (17)

ij ij j

p=1 i=1

^{j j}  j = 1,

2, , n

这两式若用矩阵表示就是：

∑A^pqX^q + Y^PO = X^p (p = 1,

q=1

2, , m)

(18)

和

其中：

B^q X^q + V^q + M^q = X^q (q = 1，2，

m) (19)

a pq

a pq

a pq 

 11 12 1n 

a pq

a pq

a pq

A pq = 



21 22 2 n 

Μ Μ Μ



(p, q = 1, 2, , m)

pq pq pq

n1 n 2 nn

称为分区直接消耗系数矩阵，即区域 q 的各部门产品生产过程中对区域p 各部门产品的直接消耗系数矩阵，而 B^q 为对角矩阵：

 m n 

∑

 p=1

pq i1

i=1

 m n 

 0 ∑∑a^pq 0

B^q = 

i2

p= 1 i =1

Μ Μ Μ

 

 m n 

 0 0

∑∑apq 

 p=1 i=1 in 

而 X^p，Y^po 分别表示区域 p 各部门总产品列向量和最终产品列向量；Vq 和 M^q 分别表示 q 区域的劳动报酬和纯收入向量。

如果我们再引入分块矩阵：





A = 





 B∃













0 0 



B∃ =  0

B∃2 0

Μ Μ Μ

和列向量



 0 0



B∃m 

 X¹ 

 X 2 

 Y¹⁰ 

 Y20 

X =  

Μ



Y =  

Μ



X^m 

 V¹ 

 V 2 

Y^m0

 M¹ 

 M 2 

V =  

Μ



M =  

Μ



V^m  M^m 

那么，(18)式和(19)式就可以分别用更简洁的矩阵形式表示如下： AX+Y=X (20)

B∃X + V + M = X (21)

三、区域间的相互作用：引力模型

如果运用投入产出模型对区域之间产品的流动情况进行分析，则产生了区域间相互作用的引力模型，它是由列昂捷夫和斯特鲁脱(Alan Strout)于1961 年提出来的。区域间引力模型由以下三个方程组组成：

xoq = ∑aq xqo + yoq

q = 1,



2, , m



(22)

i

j=1

ij j

ⁱ  i = 1,

2, , n 

xpo = ∑x pq

 p = 1,



2, , m



(23)

i i

q=1

 i = 1,

2, , n 

和 xoq = ∑xpq

 q = 1, 2, m 

 

(24)

i i

p=1

 i = 1, 2, , n

方程(22)中，x^oq表示q区域对第i种产品的总使用量，x^qo 表示q区域第j种

i j

产品的产量，a^q 表示q区域生产单位第j种产品对第i种产品的直接消耗系数, y^oq表示q区域对第i种产品的最终需求量。该方程的意义是，第i种产品在q 区域的总使用量等于 q 区域的生产消耗与最终产品之和。

方程(23)表示 p 区域运给所有区域的第 i 种产品的数量之和等于 p 区域的产量。

方程(24)表示所有区域运给 p 区域的第 i 种产品数量之和等于 q 区域的总使用量。

将方程(23)和(24)按区域相加，得：

m m m m

∑∑x ^pq = ∑ xpo

= ∑xoq

= x^oo (i = 1,

2, ,

n) (25)

p=1 q =1

p=1

q =1

1. 式说明，对于第 i 种产品，所有区域的供应量之和等于这种产品的

总使用量，也等于这种产品大区的总产量x^oo。

为了研究区域间产品流动情况，我们作如下假设：

第一，p 区域供应 q 区域的第 i 种产品的产量成正比；

第二，p 区域供应 q 区域的第 i 种产品的数量与 q 区域的第 i 种产品的使用量成正比；

第三，p 区域供应 q 区域的第 i 种产品的数量与第 i 种产品的大区产量成反比。

这三条假设用数学公式来表达就是：

x po xoq

x^pq = ^{i i} Q^pq ( p,q = 1,2, , m; i = 1, 2, , n) (26)

i oo i

i

1. 式称为区域间产品流量引力方程，其中Q ^pq 为比例常数，它由以

下四个辅助参数决定：

Q^pq = (c ^p + k ^q )d ^pqδ ^pq

i i i i i

在(27)式中，d ^pq 是第i种产品由区域p到区域q运输费用的倒数，为已知

常数；δ^pq 取 1 或 0，如果区域 p 向区域 q 运输 i 种产品，则取 1，否则取

0；c^p和k ^q 是在报告期统计资料基础上，利用最小二乘法计算出来的，其计

i i

算过程如下：

设x∃^pq 是报告期第i种产品的实际供应量，而

x po xoq xp xoq

xpq = i i Qpq = i i (c p + kq )d pq δ pq

i oo i

i

oo i

i

i i i

= b ^pq (c ^p + k^q ) (28)

i i i

为第i种产品的估计供应量，(28)式中，x^po，x ^oq , x^oq和x ^oo 分别为报告期

i i i i

区域 p 第 i 种产品的产量、q 区域对第 i 种产品的总使用量和大区的总产量， 式中，

x po

bpq = i d pq δ pq

(29)

i oo i i

i

构造目标函数Φ，它具有形式：

m m

Φ = ∑∑[ x^pq − x^pq ]²

i i

p =1 q =1

m m

= ∑∑[ x^pq − b^pq (c ^p (c^p

• k ^q )]² (i = 1,

2, , n) (30)

i

p =1 q =1

i i i i

显然，根据报告期已知的统计资料，Φ仅为c^p 和k ^p的函数。求(30)

i i

式的极小值，根据函数求报值的必要条件，令：

 ∂Φ

 ∂

m

= 2∑[x ^pq

• b ^pq (c^q + k ^q )](−b ^pq ) = 0

 i q =1

i i i i

 ∂Φ

= 2∑[ x^pq − b^pq (c ^p + k^q )](−b^pq ) =0

(31)

 ∂k ^q

i

p=1

i i i i

 i

(I=1,2,⋯,n;q=1,2,⋯,m)

上式对于每一种产品i，共有2m个方程和2m个未知量，由此可以求出c ^p

(p = 1，2， ，m)和k ^q (q = 1，2， ，m)的数值。

列昂捷夫曾利用这个方法计算了美国 1954 年九个地区的钢材流动方程，确定了钢材在各个地区的流动情况。