表 12-5 资源利用系统的投入产出表

	资源利用部门（生产部门）	最终产品（值）	总产品（值）
	1	2	j	n
	1 2 Μ i Μ n	x11	x12	x1 j	x1n	y1	x1
资源利用部门（生产部门）		x21 xi1 Μ	x22 xi 2 Μ	x2 j xij Μ	x2 n xin Μ	y 2 Μ y i Μ	x2 Μ xi Μ
		xn1	xn2	xnj	xnn	yn	x_n
资源	1 2 Μ k Μ m	c11 c21 Μ c k1 Μ cm1	c12 c22 Μ ck 2 Μ cm2	c1 j c2 j Μ ckj Μ cmj	c1n c2 n Μ c kn Μ c mn

在表 12-5 中，xi 为资源利用各部门的总产值或总产品；yi 为资源利用各部门的最终产值或最终产品；xij 为 j 部门生产中所需的 i 部门的产品(或转

化为产值)数量；ckj 为 j 部门生产中所需消耗的 k 种资源的数量。如用矩阵形式表示，则表 12-5 的上半部分可写成

	AX+Y=X	(1)
或者	(I-A)X=Y	(2)

式(1)或(2) 即综合平衡方程。其中A为直接消耗系数矩阵，其元素aij =

xij

(i，j=1，2，⋯，n)为直接消耗系数，其意义为第 j 部门生产单位产品产值所需消耗的第 i 部门产品(产值)的数量。

cij

同样，在表12 - 5的下半部分中，令d kj = (i = 1，2，，m；j = 1，

2，⋯，n)，则表中的 ckj=dkjxj。dkj 的意义表示 j 部门生产单位产品(产值) 所需消耗的 k 种资源的数量，称之为资源消耗系数。记 bk 为第 k 种资源的拥有量，引入矩阵记号：B=[b1，b2，⋯，bm]^T 及





D = 



d11

d 21

d 12

d22

d1n 

d 2n 



dm1

dm2

d mn 

则表 12-5 的下半部分可以写成矩阵形式：

DX≤B (3)

(二)资源合理利用的线性规划模型

作为资源合理利用的优化数学模型——线性规划模型，它必须包含目标函数与约束条件两大部分的内容。

目标函数的确定。资源合理利用的线性规划模型，其目标函数的确定，一般可以从以下几个方面去考虑：

使计划期内资源利用所创造的国民收入达到最大，即取

n n

max Z = ∑(xi - ∑a ij x j ) (4)

i =1

j=1

使计划期内资源利用所创造的社会总产品(产值)数量达到最大，即取

max Z = ∑ xi

i =1

(5)

使计划期内资源利用所创造的最终产品(产值)数量达到最大，即取

max Z = ∑y i

i=1

(6)

使计划期内资源利用所创造的净产值达到最大，即取：

max Z = ∑p i yi

i=1

(7)

(7)式中，pi 表示第 i 个资源利用部门产品的单价。

约束条件。本模型最重要的约束条件有三类，即部门联系约束(亦称综合平衡约束)、资源拥有量约束和非负约束。结合以上关于资源利用的投入产出分析，这三类约束可用矩阵形式表示为：

(I − A)X = Y

 DX≤B

(8)

X≥0, Y≥0

此外，还可以考虑其它约束条件，譬如资源利用部门的资金约束、劳动力约束等等。例：某地有甲、乙两个资源利用部门(生产部门)，它们利用煤炭(燃料)和矿石(原料)分别生产甲、乙两类产品，经投入产出分析得其投入产出系数如表 12-6 所示。若煤炭拥有量为 360 个单位；原料拥有量为 200

个单位；劳动力拥有量为 300 个单位；甲、乙两类产品的单价分别为 700 万

元和 1200 万元。试问如何安排生产计划，才能使净产值达到最大？