第五节 灰色去余控制理论及其应用

灰色去余控制理论，是我国著名的控制论专家邓聚龙先生针对灰色系统的控制问题提出的一种优化控制方法。目前，这一方法已被广泛地应用于各类系统的控制分析之中。下面介绍灰色去余控制理论及其在地理系统调控中的应用。

一、灰色去余控制理论概述(一)系统的结构模型

由第八章第二节的介绍，我们知道，一个系统的动态过程，可以用一定的传递函数表示。如果 U 与 X 分别表示系统的输入与输出的拉普拉斯变换， 系统的传递函数记为 W，则有：

X = W (1)

U

有时更习惯于用

W-1X=U (2)

表示系统的输入-输出关系。

若系统中有反馈 Z，将 X 反馈回输入端，则其动态关系为：

X = W

U

(3)式可以被写成：

1 + WZ

1+ WZ

W X = U

或者 W-1X = U - ZX (4)

上述关系式称为反馈系统的结构范式，或者称为系统的结构模型。对于上述的系统结构模型，特作以下几点说明：

  1. 等号(=)是系统输入与输出的比较环节。等号左端的 X 为系统的输出，右端的 U 为系统的输入。

  2. 从系统的输入端 U 经过 W 到输出端 X 的通道称为主通道，W 称为主通道的传递函数；将 X 经过 Z 反馈到输入端的通道称为反馈通道，Z 称为反馈通道的传递函数，ZX 称为反馈项。

  3. 结构模型等号左端 X 的系数 W-1 是主通道传递函数的倒数。

  4. 反馈项 ZX 前面的符号代表反馈极性，“+”表示正反馈，“-”表示负反馈。

  5. 结构模型中的 X 与 U 可以是单一变量，也可以是多个变量构成的向量；当 X 与 U 为向量时，W 与 Z 为矩阵。

  6. 称 Z=0 的结构模型

为开环系统，称

W-1X=U

W-1X=U-ZX

为闭环系统。但是，这种叫法是相对的，事实上，带有反馈项的结构模型同样可以化为无反馈的形式，譬如令：

W −1 = 1 + WZ

Σ W

则有：

W −1X = U

上式在形式上是无反馈的开环系统，而实际上却是有反馈的闭环系统。(7)系统的结构模型不是唯一的。

(二)灰色去余控制的基本思想

灰色去余控制理论认为，系统的动态品质的好坏，主要反映在闭环系统传递函数 G 的结构与参数上，因此，要改善系统的动态品质，实现系统的优化控制，就需要改变闭环系统的传递函数。

设原系统的结构模型为：

G-1X=U (5)

记预期的(优化的)系统为

G-1X = U (6)

记两系统的逆传递函数矩阵G-1与G_1之差为Q，即：

Q = G-1 - G-1 (7)

则原系统可以改写成：

G-1X = U + QX (8)

  1. 式代表了主通道传递函数为 G*，反馈项为 QX 的系统。这说明原来的系统G-1X = U，可以看作是由预期系统G -1X = U与反馈项QX所组成。从预期系统的动态品质来看，QX 项是多余的，故 QX 称为系统的多余项，它以“虚内反馈”的形式作用在系统上，恶化了系统的动态品质。

当系统的多余项被分离出来后，则只要加入传递函数相等，反馈的输入

与输出相同，而极性相反的控制项抵消多余项，系统就可以得到令人满意的品质。这种用外反馈抵消多余项的控制方法称为系统的去余控制。其去余过程，可以用结构关系：

多余项 去余项

G −1X = u + QX − QX

1 *4 4 2 4 4 3

原系统

⇓

G−1X=u

预期系统

及图 10-4 所示的框图来表示：

(三)灰色去余控制的途径、方式和准则

制定控制决策，以改善系统的动态品质，实现系统的优化控制，可以有不同的途径、不同的方式和不同的准则。

  1. 控制决策的实施途径

  1. 参数调整决策。这是指对系统结构参数的大小、符号进行改变，以改善系统的动态品质。

  2. 结构改变决策。通过从外部引入控制结构。譬如，加去余控制部分以改善系统动态。

    1. 控制决策的方式

  1. 通过系统的结构模型分解出多余项，然后采取去余控制措施，这种去余控制常称为频域去余，或者结构去余。

  2. 通过系统的状态模型实现去余，称为状态去余，或者时域去余。3.控制策略的准则

  1. 输入无偏准则。记系统的输入为 U，反馈为 z，则动态无偏准则为： J=U-z=min (9)

这里 z 可以是向量，譬如：

z=ZX (10)

在(10)式中，

 z11

Z = z21

z12 z 22

z1n 

z2 n 

 Μ Μ Μ

 

zn1

zn2

znn 

  1. 动态无偏准则。记 Gu 及

    G*分别表示接受控制后以及预期的系统传递函数，则动态无偏准则可以表示为：

J = G-1 - G -1 = min(s) (11)

u *

(11)式中，min(s)表示某一个系数尽可能小的 s 多项式的分式。

(3)状态无偏准则。记 Au 及 A*分别为接受了控制及预期的状态矩阵，则状态无偏准则为：

J=Au-A*=min (12)

二、人工草地生态经济系统的优化调控模型

黄土高原曾是中华民族的摇篮，但长期以来，由于不合理的人类活动， 滥垦，滥殖，破坏了森林和草原，从而导致了干旱、风沙灾害、水土流失等。日趋严重的环境问题，这些问题都直接或间接地影响着人类的生存。解放以后，国家对黄土高原的治理工作非常重视。在科技人员与广大人民群众的努力探索下，找到了一系列切实可行的治理措施，如植树造林、种草养畜、小流域综合治理等。这些措施都对黄土高原农业生态系统的调控起到了积极的作用。特别是种草养畜这一措施的推广实施，不但改善了生态环境，而且取得了良好的经济效益。譬如，地处黄土丘陵区的山西省柳林县李家垣村，自1979 年开始种草养兔，到 1983 年已形成了产业优势。阎文瑸、王学萌先生曾根据该村五年种草养兔过程中所积累的有关数据(表 10-8)运用灰色建模方法建立了系统的动态模型，并运用灰色去余控制理论提出了该人工草地生态系统的优化调控策略，现在将他们的工作介绍如下。

(一)系统的动态模型

显然，售兔收入是系统的输出变量，而投资则是系统的输入变量或控制变量。但售兔收入受诸多因素影响，除市场因素外，在生产过程中首先取决于可供繁殖用的种兔及饲草来源的制约，而这两个因素又取决于投资。从投资——生产——产品输出(即养兔收入)，有如下几个环节(见图 10-5)：