第二节 现代地理学中的数学方法

——评价与应用

一、现代地理学中的数学方法的评价

1963 年，鲍顿（I.Burton)用“计量革命”一词，对自本世纪 50 年代末期开始的以数学方法在地理学研究中的应用为内涵的计量运动作了形容，认为，此后将不再是革命了，因为它已经成为现代地理学研究的主流方向之一。不过，这种认识，并未完全统一。因为现代地理学中的数学方法的引入，一方面推动了传统地理学研究方法的变革，另一方面却产生了重数量分析，轻区域、生态研究等问题。由此产生了一场波及整个地理学界的大辩论。以至到了本世纪 70 年代后期，还有人提出要重新评价计量运动，重新认识地理学中的数学方法。有人认为，数学方法只能用来研究地理要素之间的数量关系及地理事物的分布形态，而不能揭示复杂的地理现象形成的机制。又有人认为，地理学的定量化，其实质就是地理学的科学化、现代化。

随着计量运动的发展，对于现代地理学中的数学方法，产生了三种观点。第一是逆计量运动之潮流，反对地理学定量化研究，认为地理现象，尤其是人文、社会经济地理现象十分复杂，不能用简单的数学方法来解释。持这种观点的地理学者，对数学方法采取拒绝和否定态度。如英国地理学家史密斯

（David Smith)和奥格登（Philip Ogden)，他们曾这样评价计量革命：“这种所谓的革命，实际上是很保守的，因为它把‘空间’作为地理学研究的基础和实质的化身，同时却忽视了一些社会、经济结构的变化，因而成了故弄玄虚，并把现象当作本质”。有人还把计量运动说成是“数学癖的十年”。甚至还有人大声疾呼：地理学有可能陷入“数学决定论”的危险。第二种观点与前一种针锋相对，推崇地理学定量化，认为数学方法不仅是一种分析技术，而且能够导出普遍性规律，能够解决地理学传统研究方法所不能解决的理论问题。持这种观点的有德国地理学家克里斯塔勒（W.Christaller)、美国地理学家帮吉（ W.Bunge)、英国地理学家乔莱（R.Chorley)、哈格特

（P.Haggett)等。代表性著作有帮吉的《理论地理学》（1962)、哈格特的《人文地理学的区位分析》（1965)、乔莱和哈格特的《地理模型》（1967)等。此外，在芬兰、日本、加拿大、新西兰、印度和前苏联等国家也出现了一批推崇数学方法的地理学者及其代表性论著。第三种观点是介于“定量化”和“反定量化”之间的“非定量化”的观点。这种观点认为，数学方法只是地理学研究方法之一，它只能用来研究地理要素之间的数量关系及地理事物的空间格局，但是不能用它来描述和解释地理规律，不能导出地理学理论。不过，这种观点并不是固定不变的，它具有较大的摇摆性。当地理学定量化研究取得较大进展时，它便宣扬数学方法，强调数学方法在地理学研究中的重要性；当地理学定量化研究遇到困难，出现问题时，它便否定数学方法，贬低数学方法。持这种观点的地理学者，中国有，外国也有。

笔者认为，正确认识与公正合理地评价数学方法在地理学研究中的地位与作用，不仅对于地理数学方法本身，而且对于整个地理学的健康发展都有着十分重要的意义。

对于现代地理学中的数学方法的评价与认识，笔者提出以下几点看法。

（1)世界上的任何事物都可以用数值来度量。在地理学研究中，一切地

理要素，例如区域的规模、城市的位置、道路的长短、气温的高低、雨量的多少、山高水深、人口增减、物产丰欠等等，均可以用数量来表示。对各种地理要素的分布及其间的相互关系，均可以用数学方法进行定量分析与研究。运用数学方法研究地理现象，可以作出确定性解释和精确预测与判断。在现代地理学研究中运用数学方法，有着传统方法无法比拟的优点。

（2)在现代地理学中，传统方法与数学方法之间并没有不可逾越的鸿沟，传统方法是数学方法的基础，数学方法是传统方法发展的必然结果和重要补充。传统方法与数学方法的区别在于：传统方法研究地理问题的程序为： 考察、收集资料→根据已有的概念体系条理化→归纳、概括→建立理论与法则；而数学方法研究地理问题的程序为：观察实践→先期模式→提出假设→ 对资料进行筛选→建立模式→反复检验→建立理论和法则。传统方法所采用的推理方式以综合归纳为主。而数学方法所采用的推理方式以理论演绎为主，传统方法与数学方法的有机结合，是地理学研究现代化的必不可少的条件。这两种方法在现代地理学中的作用不可相互替代

（3)数学方法，不仅是人们进行数学运算和求解的工具，而且能以严密的逻辑和简洁的形式描述复杂的问题，表达极为丰富的实质性思想。对于现代地理学，数学方法不仅是应用地理学研究中的预测、决策、规划及优化设计的工具，而且也是理论地理学研究中进行逻辑推理和理论演绎的手段。

（4)客观上讲，在地理学研究中，任何方法都有其局限性，数学方法当然也不例外。一方面，对于某些地理问题，目前人们还不知道该用什么样的数学方法去处理，这是外部局限性；另一方面，单纯地用数学方法去分析、研究地理问题，究竟可以达到什么样的深度，这是内部局限性。只有正确地认识这些局限性，并不断地寻求克服它们的途径与措施，才能使地理学中的数学方法得到不断的发展和完善。

（5)现代地理学中的数学方法的形成和发展，离不开电子计算机，它与电子计算机应用技术密切相关。一方面，电子计算机的产生和发展，是现代地理学中的数学方法形成与发展的一个十分重要的条件。另一方面，现代地理学中的数学方法的发展，又为电子计算机技术在地理学中的应用提供了更加广阔的领域。被誉为地理学的第三代语言的现代地理学技术——地理信息系统（GIS)，就是数学方法与电子计算机应用技术在现代地理学研究领域内相互结合、相互渗透的产物。这一技术，可以说是在现代地理学中综合运用数学方法和电子计算机技术的一个成功的典范。

二、数学方法在现代地理学研究中的应用

（一)数学方法应用的一些方面

现代地理学，是一门研究地理环境及其与人类活动之间相互关系的综合性、交叉性学科。它以分布、形态、类型、关系、结构、联系、过程、机制等概念构筑其理论体系，注重的是地理事物的空间格局与地理现象的发生、发展及变化规律，追求的目标是人地系统的优化——即人口、资源、环境与社会经济协调发展。所采用的研究方法，是定性与定量方法相结合、综合归纳与理论演绎方法并用、规范与实证研究方法并举。

数学方法，不仅是现代地理学研究中的理论演绎与逻辑推理的工具，而且也是定量分析、模拟运算、预测、决策、规划及优化设计的手段。在现代地理学研究的各个分支领域中，它能被按照不同的要求与方式应用。其应用的方面，主要包括：

（1)分布型分析。这类研究，主要是对地理要素的分布特征及规律进行定量分析。譬如，运用平均值、方差、标准差、变异系数、峰度、偏度等统计量描述地理要素的分布特征；运用概率函数研究地理要素的分布规律；等等。

（2)相互关系分析。这类研究，主要是对地理要素、地理事物之间的相互关系进行定量分析。譬如，运用统计相关分析方法定量地揭示地理要素之间的相关程度；运用灰色关联分析方法揭示地理事物之间相互联系的密切程度；运用回归分析方法给出地理要素之间相关关系的定量表达式；运用投入产出分析方法定量分析区域经济系统中各个产业之间的相互联系；等等。

（3)类型研究。主要是对地理事物的类型和各种地理区域进行定量划分。譬如，运用模式识别方法、判别分析方法、聚类分析方法等定量地研究土地类型、地带及自然区和经济区的划分问题等。

（4)网络分析。主要是对水系、交通网络、行政区域、经济区域等的空间结构进行定量分析。在地理网络分析中，几何学方法和图论方法是常用的主要方法。譬如，交通网络中结点之间的接近度、可达性、最短路径，及最大流与最小运费流，以及行政或经济区域中的城镇体系及其等级-规模等问题的研究，均属于网络分析的范畴。

（5)趋势面分析。趋势面分析，就是运用适当的数学方法计算出一个空间曲面，并以这个空间曲面去拟合地理要素分布的空间形态，展示其空间分布规律。这种空间曲面就称之为趋势面。趋势面分析所采用的数学方法通常是回归分析方法。其分析的步骤是：首先运用回归分析方法拟合出所要分析的地理要素的趋势面方程，然后以趋势面方程计算出每一个地理测点上的该地理要素的趋势值，并以一定的间隔画出趋势等值线图。这种趋势等值线图就展示了所要分析的地理要素的空间分布规律。

（6)空间相互作用分析。主要是定量地分析各种“地理流”在不同区域之间“流动”的方向与强度。譬如，运用线性规划方法研究某个大区域中各个小区之间的货流问题；运用投入产出分析方法研究各个区域之间产品的流动及分配与消费问题；运用一些已经建立的理论模式研究不同区域之间的人口流动问题、商品购销问题；等等。

（7)系统仿真研究。就是针对复杂的地理问题——即对象系统，在对各种系统要素之间的相互关系与反馈机制分析的基础上，构造系统结构，建立描述系统的数学模型，并以适当的计算方法与算法语言将数学模型转化为计算机可以识别与运行的工作模型，通过模型的运行，对真实系统进行模拟与仿真，从而达到揭示系统的运行机制与规律的目的。实践证明，系统动力学方法是地理系统仿真研究中可供借鉴的一种有效方法，它为许多复杂地理问题的研究提供了一种可供尝试的途径。

（8)过程模拟与预测研究。任何地理事物、地理现象，都随着时间在不断地运动和变化着，即经历着特定的地理过程。这类研究，旨在通过对地理过程的模拟与拟合，定量地揭示地理事物、地理现象随时间变化的规律，从而对其未来发展趋势作出预测。在地球表层系统中，主要的地理过程包括气候过程、水文过程、生物过程、地貌过程、生态-环境过程、经济过程、社会过程、文化过程等。对于这些过程的模拟与预测研究，经常采用的数学方法有回归分析法、马尔可夫方法、灰色建模方法、系统动力学方法等。

（9)空间扩散研究。这类研究，旨在定量地揭示各种地理现象，包括自

然现象、经济现象、社会现象、文化现象、技术现象在地理空间上的扩散规律。譬如，坡面泥流运动、各种污染物在水体和大气中的扩散、各种经济现象的集聚与扩散、文化与技术的传播等问题，都属于空间扩散研究的范畴。这类研究，经常采用的方法有微分建模方法、数学物理方法、蒙卡罗模拟方法等。

（10)空间行为研究。主要是对人类活动的空间行为决策进行定量的研究。譬如，资源利用与环境保护问题、经济活动的空间组织问题、产业布局的区位问题、城乡区域规划问题等都属于空间行为研究的范畴。这类研究， 经常采用的数学方法有数学规划方法，如线性规划、多目标规划、多维灰色规划方法等，以及决策分析方法，如 AHP 决策分析方法、风险型决策方法、非确定型决策方法、模糊决策方法、灰色局势决策方法等。

（11)地理系统优化调控研究。主要是运用系统控制论的有关原理与方法，研究人-地相互作用的地理系统的优化调控问题，寻求人口、资源、环境与社会经济协调发展的方法、途径与措施。这类研究，经常采用的是现代控制论方法、大系统理论及灰色去余控制理论等。

（二)应用数学方法必须注意的一些问题

在现代地理学研究中，为了成功地运用数学方法，达到定量分析的目的， 必须注重如下几个方面的问题：

（1)关于地理数据的筛选与质量检验问题。数学方法，在现代地理学研究中的作用是重要的，它是建立模型和进行定量分析的基本工具与先决条件。但是，地理数据却是定量地研究地理问题的基础，它在建模分析中的作用有两个方面：一是确定模型中的参数与初值；二是检验模型的正确性、合理性和有效性。没有地理数据，模型中的参数与初值将无法确定，模型的正确性、合理性和有效性将无法检验。地理数据的质量，直接影响着由模型所得出的研究结果的正确性。在地理问题的研究中，运用数学方法所建立的定量分析模型，可以被形象地看作加工原料、制造产品的“机器”或“设备”， 这里的“原料”就是输入模型的原始地理数据，而“产品”便是由模型得出的研究结果。显然，“产品”的质量不仅取决于“机器”的性能，而且还依赖于“原料”的品质。如果输入的地理数据质量不高，则输入的结论就不会可靠。由此可见，在地理问题研究中，地理数据的丰富性、完备性和准确性， 也是能否成功地运用数学方法的关键。所以，在运用数学方法研究地理问题时，就必须首先注重对地理数据的筛选和质量检验工作。

（2)模型的建造问题。描述地理问题的数学模型，是对地理问题进行定量地研究的依据。所以，描述地理问题的数学模型的建造，是对地理问题进行定量研究的关键环节之一。英国著名地理学家威尔逊（A.Wilson)，曾就如何建造地理数学模型发表了自己的见解，这些见解可以归纳为如下几条：① 建造一个模型，首先必须明确建模的目标，即建模者必须回答所建模型将被用来做什么？企图解决什么问题？②地理问题——即所研究的对象系统，其构成要素是什么？这些要素之间的相互联系、相互作用及其动态变化应该由什么形式的变量被模型所反映？其中哪些变量是以量化变量的形式出现的？

③在各类变量中，必须明确哪些变量是可控变量？即通过对哪些变量的调控可以使系统的行为发生改变？④在模型中，如何处理时间概念？即认为被研究的对象系统是无记忆系统还是记忆系统？是建立静态模型还是建立动态模型？⑤所建模型将采用什么观点、解决哪些理论问题？与此问题有关的建立

模型的基本假设，以及所依据的理论，将要解决的问题等都将直接或间接地体现在模型之中；⑥能用于建模的有关数据、资料是什么？其可靠性如何？ 应采用什么样的建模技术？有现成的技术方法可供借鉴还是需要建造新模型？采用什么方法确定模型的参数？⑦所建模型的精度，以及该模型的合理性和有效性如何？采用什么方法和手段检验所建模型？威氏的这些见解道出了建造地理数学模型所必须注意的各个环节，同时也为我们提供了一个一般性的建模程序。

（3)与 GIS 相结合的问题。地理信息系统（GIS)，是本世纪 70 年代后期发展起来的，对地理数据进行采集、输入、存储、更新、检索、管理及综合分析与输出的计算机应用技术。它是以计算机为工具，综合利用定位观测数据、统计调查数据、地图数据、遥感数据等，通过一系列空间操作与分析， 对地理学进行综合研究的现代化手段。数学方法，只有与 GIS 技术相结合， 才能不断地提高其应用层次与水平，不断地拓宽其应用领域，充分发挥它在现代地理学研究中的作用。一方面，从数学方法的角度来看，对于一些复杂地理问题的研究，采用任何单一的数学方法和单个数学模型都是很难奏效的。解决这类问题，需要综合运用多种数学方法，建立一系列具有分析、模拟、仿真、预测、规划、决策、调控等各种功能的众多模型组成的模型系统才能完成。然而，这种模型系统的运行，不但需要大量地理数据构成的数据库的支持，还需要强有力的计算方法与计算机程序的支持，而且由模型系统运行所得到的研究结论也需要以简明扼要的形式——地图、统计图形或表格方式被输出。显然，对于模型系统的这些支持，必须由 GIS 技术才能完成。另一方面，从 GIS 的角度来看，它不仅需要运用数学方法为其建造空间分析模型，如数字地形模型（DTM)、空间统计分析模型、叠加（Overlay)分析模型、缓冲（Buffer)区分析模型等，以及其它应用分析模型，如综合评价模型、预测模型、规划模型、决策分析模型等；而且就连 GIS 中的一些基本技术， 如空间数据的编码、数据格式的转换算法、遥感数据的几何校正、数据模型与数据库的建造等都需要借助有关的数学方法来实现。近几年来所出现的一种针对一些特定的领域的面向应用对象的、高层次的智能化的地理信息系统

——地理决策支持系统，就是数学方法、人工智能技术与 GIS 技术在应用地理学研究领域中相互结合的成功典范。