表 3-30

对表 3-30 给出的解，再用闭回路法或位势法求各空格的检验数，得表

3-31。在表 3-31 中，因为所有检验数都非负，故表 3-30 所给出的解是最优解，这时得到的总运费（最小运费)为 85（元)。

三、产销不平衡的运输问题的求解方法

前面所介绍的求解运输问题的表上作业法，是以产销平衡，即

m n

∑ai = ∑b j

(6)

i=1 j=1

为前提的。但是，在实际问题中，产销往往是不平衡的。为了求解，需要把

产销不平衡的问题化成产销平衡的问题。当产大于销

m n

∑ai ＞∑b j

(7)

i=1 j=1

时，运输问题的数学模型为：求 xij（i=1，2，⋯m；j=1，2，⋯，n)

m n

使： minZ = ∑∑cij xij

(8)

且满足：

 n

i=1

j=1

∑xij ≤ai (i = 1, 2, , m) (9)

 j=1

 m

∑xij = b j ( j = 1, 2, ,

 i=1

n) (10)

xij≥0(i = 1, 2, , m, j = 1, 2, , n) (11)



由于总的产量大于销量，所以就要考虑多余的物资在哪一个产地就地贮存的问题。设 xi，n+1 是产地 Ai 的贮存量，于是有：

n n+1

∑xij + xi ,n +1 = ∑xij = ai (i = 1, 2, , m) (12)

j=1

m

j= 1

∑ xij = b j ( j = 1, 2, , n) (13)

i=1

m m n

∑xi ,n +1 = ∑ai − ∑b j = bn +1

(14)

i=1

i=1

j= 1

当 i=1， 2，⋯，m，j=1， 2，⋯， n 时，令 c′ij=cij；当 i=1，2，⋯， m，j=n+1 时，令 c′ij=0，将其代入（8)式，并将（9)式进行改写，产销不平衡的运输问题（8)-（11)式就可以改写成：求 xij（i=1，2，⋯，m；j=1， 2，⋯，n，n+1)

m n+1 m

使 minZ′ = ∑∑c′ ijx ij i= 1 j=1

= ∑c′ i,n+1 xi ,n+1 i =1

m n

且满足：

 n+1

= ∑∑cij xij i= 1 j=1

(8′)

∑xij = ai (i = 1,

 j= 1

 m

2, , m) (9′)

∑xij = b j ( j = 1, 2, ,

 i=1

n, n + 1) (10′)

xij≥0 (i = 1, 2, , m;



j = 1, 2, , n, n + 1) (11′)

在这个模型中，由于

m n n+ 1

∑ai = ∑b j + b n+1 = ∑b j

(12)

i=1

j=1

j=1

成立，所以这是一个产销平衡的运输问题。

当产大于销时，只要增加一个假想的销地 j=n+1（实际上是贮存)，让

m n

该销地的需求量为（∑ai − ∑b j ），并在单位运价表中令从各产地到假想

i=1 j=1

的销地的单位运价为 c′i，n+1=0（i=1，2，⋯，m)，就可以将其转化为一个产销平衡的运输问题。同理，当销大于产时，只要在产销平衡表中增

n m

加一个假想的产地i = m + 1，让该地的产量为（∑b j − ∑ai ），并在单位运

j=1 i =1

价中令从该假想的产地到各销费地的运价为 c′m+1，j=0，就可以将其转化为一个产销平衡的运输问题。

对于产销不平衡的运输问题，当用上述方法将其转化为产销平衡的运输

问题后，就可以用表上作业法对其求解，对此，我们不拟再作过多地赘述。