表 12-1 简化的实物型投入产出表

∑qij + yi j=1

令

= qi (i = 1,

∑q0 j = L

i=1

2, , n)

(1)

(2)

q ij

a ij = (i, j = 1, 2, , n) (3)

j

则 aij 表示每生产单位 j 类产品需要消耗的 i 类产品的数量，它被称为产品的直接消耗系数。同理，劳动的直接消耗系数为：

q0 j

a 0j = ( j = 1, 2, , n) (4)

j

将(3)式和(4)式分别代入(1)式和(2)式，可以得到：

n

若令：

∑aijq j + yi j=1

= qi (i = 1, 2, ,

∑a0 jq j = L

j= 1

n) (5)

(6)

 a11 A = a 21

a12

a22

a1n 

a2 n 

 a a a 

n1 n2 nn

Q=[q1，q2，⋯，qn]^T，Y=[y1，y2，⋯，yn]^T，则关于几类产品的生产与分配使用的方程(5)，就可以写成矩阵形式

AQ+Y=Q (7)

即

(I-A)Q=I (8)

1. 式中，I 为 n 阶单位矩阵。矩阵(I-A)称为列昂捷夫矩阵，其具体形式为：

 1 − a11

− a12

• a1n 

− a

1 − a

• a 

(I − A) = 

21 22 2n 





n1

• a n2

1 − a



nn 

1. 式表明了总产量与最终产品之间的关系，若已知各类产品的总产量， 则可以通过(8)式求出各类产品的最终产品需求量；若已知各类产品的最终产品需求量，则可以通过求解(8)式得到各类产品的总产量：

Q=(I-A)^-1Y (9)

1. 式中，(I-A)^-1 称为列昂捷夫逆矩阵，它反映了最终产品与总产量之间的关系。

实物型投入产出模型，建立了经济系统中各类主要产品的生产和分配使用之间的平衡关系。在模型中，直接消耗系数矩阵 A 反映了生产过程的技术结构。模型通过列昂捷夫矩阵(I-A)建立了总产品与最终产品之间的联系，通过列昂捷夫矩阵(I-A)^-1 建立了最终产品与总产品之间的联系。

二、价值型投入产出模型

价值型投入产出模型，是根据价值型投入产出表而建立的。它将整个国民经济系统划分为若干子系统——生产部门，并以货币为计量单位。由于它不仅能反映各部门产品的实物运动过程，而且能够精确地描述各部门产品的价值流动过程，因而它的实用性与实用范围比实物型更广。表 12-2 为一简化的价值型投入产出表。

由于价值型投入产出表是以货币(一般用不变价格)作为计量单位的，因此我们可以按行或列来建立数学模型。

根据表 12-2，按横行建立数学模型与实物型是类似的，它也是反映了各部门产品的生产与分配使用情况，描述了最终产品与总产品之间的平衡关系。对于几个部门，有 n 个方程：

x11 + x12 + + x1n + y1 = x1

x21 + x 22 + x2 n + y2 = x2

Μ Μ Μ Μ Μ

xn + xn 2 + + xnn + yn = xn

以上方程可以写成：

n

∑xij + yi = xi (i = 1,

j=1

记各部门的直接消耗系数为：

xij

2, ,

n) (10)

a ij =

(i,

j

j = 1, 2, ,

n) (11)

将(11)式代入(10)式，得：

n

∑aij x j + yi j=1

= xi (i = 1,

2, , n)

(12)

(12)式叫做产品分配方程组，它表明某一部门的总产品等于从该部门流向其它部门的产品及最终产品之和。若记 X=[x1，x2，⋯，xn]^T，Y=[y1，y2，⋯， yn]及