第二节 灰色预测方法

基于灰色建模理论的灰色预测法，按照其预测问题的特征，可分为五种基本类型，即数列预测、灾变预测、季节灾变预测、拓扑预测和系统综合预测。这五种类型的预测方法，都是区域开发研究中重要而且常用的预测方法。鉴于本书篇幅所限，本节拟和只对数列预测法灾变预测法及其在地理学研究中的应用问题作简单介绍。

一、数列预测

数列预测就是对某一指标的发展变化情况所作的预测，其预测的结果是该指标在未来各个时刻的具体数值。譬如，在地理学研究中，人口数量预测、耕地面积预测、粮食产量预测、工农业总产值预测，等等，都是数列预测。

数列预测的基础，是基于累加生成数列的 GM(1，1)模型。

设 x(0)(1)，x⁽⁰⁾(2)，⋯，x⁽⁰⁾(M)是所要预测的某项指标的原始数据。 一般而言，{x (0) (t)}^M 是一个不平稳的随机数列. 对于这样一个随机数列, 如果*²趋势无规律可循(如图 10-2 所示)，则无法用回归预测法对其进行预测。

如果对{x ⁽⁰⁾ (t)}^M 作一次累加生成处理，即

x(1)=x(0)(1) x⁽¹⁾(2)=x⁽⁰⁾(1)+x⁽⁰⁾(2)

x⁽¹⁾(3)=x⁽⁰⁾(1)+x⁽⁰⁾(2)+x⁽⁰⁾(3)

Μ

x⁽¹⁾ ( k) = ∑x⁽⁰⁾ (t)

t=1

Μ

M

x⁽¹⁾ ( M) = ∑x⁽⁰⁾ (t)

t=1

则得到一个新的数列{x⁽¹⁾ (t)}^M

= 1。这个数列与原始数列{x^{(0) (t)}M}

相比较

，其随机性程度大大弱化，平稳程度大大增加(如图 10-3 所示)。对于这样的新数列，其变化趋势可以近似地用如下微分方程描述：

dx(1)

+ ax⁽¹⁾ = u

dt

(1)

在(1)式中，a 和 u 可以通过如下最小二乘法拟合得到：

a = ( B^TB) ⁻¹ B^TY

(2)

u M

 

在(2)式中，YM 为列向量 YM=[x⁽⁰⁾(2)，x⁽⁰⁾(3)，⋯，x⁽⁰⁾(M)]^T；B 为构造数据矩阵：

 1 (1) (1) 

 - 2 [x (1) + x (2)] 1 

 

 - [x⁽¹⁾ (2) + x⁽¹⁾ (3)] 1 

 2 

 Μ Μ

(1) (1)

 − 2 [x (M − 1) + x ( M)] 1

微分方程(1)式所对应的时间响应函数为：

(1)

 (0)

u  -at u

x (t + 1) = x (1) − a e + a (3)

(3)式就是数列预测的基础公式，由(3)式对一次累加生成数列的预测值

x∃⁽¹⁾ (t) 可以求得原始数的还原值：

x∃⁽⁰⁾ (t) = x∃⁽¹⁾ (t) - x∃⁽¹⁾ (t - 1) (4)

在(4)式中，t = 1，2， ，M，并规定x∃⁽¹⁾ (0) = 0。原始数据的还原值与

其观测值之间的残差值ε⁽⁰⁾(t)和相对误差值 q(t)如下：

ε⁽⁰⁾ (t) = x⁽⁰⁾ (t) − x∃⁽⁰⁾ (t)

 ( 0)

(5)

q(t) = ε (t) ×100%

 x( 0) ( t)

对于预测公式(3)，我们所关心的问题是它的预测精度。这一预测公式是否达到精度要求，可按下述方法进行精度检验。

首先计算：

x( 0)

= 1 x⁽⁰⁾ (t)

M t= 1

s² =

1 ∑(x ⁽⁰⁾ (t) − x⁰ ) ²

1

ε( 0)

M t =1

= 1

M

(ε ⁽⁰⁾ (t) − ε ⁽⁰⁾ )²

M − 1 _t=2

其次计算：方差比 c=s2/s1

及小误差概率：p{｜ε ^{(0) (t) - ε (0) ｜＜0.6745s }}

一般地，预测公式(3)的精度检验可由表 10-2 给出。如果 p 和 c 都在允

许范围之内，则可以计算预测值。否则，需要通过对残差序列{ε ^{(0) (t)}M} = 2

的分析对(3)式进行修正，灰色预测常用的修正方法有残差序列建模法和周斯分析法两种。