第五节马尔可夫预测方法

对事件的全面预测，不仅要能够指出事件发生的各种可能结果，而且还必须给出每一种结果出现的概率，说明被预测的事件在预测期内出现每一种结果的可能性程度。这就是关于事件发生的概率预测。

马尔可夫（Markov)预测法，就是一种关于事件发生的概率预测方法。它是根据事件的目前状况来预测其将来各个时刻（或时期)变动状况的一种预测方法。马尔可夫预测法是地理预测研究中重要的预测方法之一。

一、几个基本概念

为了介绍马尔可夫预测法在区域开发研究中的应用，我们首先来介绍有关马尔可夫预测法的几个基本概念。

（一)状态、状态转移过程与马尔可夫过程

状态在马尔可夫预测中，“状态”是一个重要的术语。所谓状态，就是指某一事件在某个时刻（或时期)出现的某种结果。一般而言，随着所研究的事件及其预测的目标不同，状态可以有不同的划分方式。譬如，在商品销售预测中，有“畅销”、“一般”、“滞销”等状态；在农业收成预测中，有“丰收”、“平收”、“欠收”等状态；在人口构成预测中，有“婴儿”、“儿童”、“少年”、“青年”、“中年”、“老年”等状态；在经济发展水平预测中，有“落后”、“较发达”、“发达”等状态；等等。
状态转移过程在事件的发展过程中，从一种状态转变为另一种状态，就称为状态转移。譬如，天气变化从“晴天”转变为“阴天”、从“阴天”转变为“晴天”、从“晴天”转变为“晴天”、从“阴天”转变为“阴天”等都是状态转移。

事件的发展，随着时间的变化而变化所作的状态转移，或者说状态转移与时间的关系，就称为状态转移过程，简称过程。

马尔可夫过程若每次状态的转移都只仅与前一时刻的状态有关、而与过去的状态无关，或者说状态转移过程是无后效性的，则这样的状态转移过程就称为马尔可夫过程。在区域开发活动中，许多事件发展过程中的状态转移都是具有无后效性的，对于这些事件的发展过程，都可以用马尔可夫过程来描述。

（二)状态转移概率与状态转移概率矩阵

状态转移概率在事件的发展变化过程中，从某一种状态出发，下一时刻转移到其它状态的可能性，称为状态转移概率。根据条件概率的定义，由状态 Ei 转为状态 Ej 的状态转移概率 P（Ei→Ej)就是条件概率 P（Ej/Ei)，即

P（Ei→Ej)=P（Ej/Ei)=Pij （1)

 P11

P = P21

P12 P22

p1n 

P2 n 

（2）

 Μ Μ Μ

 

Pn1

Pn 2

Pnn 

则称 P 为状态转移概率矩阵。

如果被预测的某一事件目前处于状态 Ei，那么在下一个时刻，它可能由状态 Ei 转向 E1，E2，⋯Ei⋯En 中的任一个状态。所以 Pij 满足条件：

0≤Pij≤1 （i，j = 1，2，，n）

 n (3)

^∑P = 1

（i = 1，2，，n）

 ij

 j=1

一般地，我们将满足条件（3)的任何矩阵都称为随机矩阵，或概率矩阵。不难证明，如果 P 为概率矩阵，则对任何数 m＞0，矩阵 Pm 都是概率矩阵。

如果 P 为概率矩阵，而且存在整数 m＞0，使得概率矩阵 Pm 中诸元素皆非零，则称 P 为标准概率矩阵。可以证明，如果 P 为标准概率矩阵，则存在

非零向量α = [x1 ，x2 ，，x n ]，而且xi 满足0≤xi ≤1及∑ xi = 1，使得

i=1

αP=α （4)

这样的向量α称为平衡向量，或终极向量。

3.状态转移概率矩阵的计算计算状态转移概率矩阵 P，就是要求每个状态转移到其它任何一个状态的转移概率 Pij（i，j=1，2，⋯，n)。为了求出每一个 Pij，我们采用频率近似概率的思想来加以计算。

考虑某地区农业收成变化的三个状态，即“丰收”、“平收”和“欠收”。记 E1 为“丰收”状态，E2 为“平收”状态，E3 为“欠收”状态。表 2-18 给出了该地区 1950—1989 年期间农业收成的

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