第二节 目标规划方法

目标规划方法，是在线性规划的基础上逐步发展起来的一种多目标规划方法。这一方法是由美国学者查恩斯（A.charnes)和库伯（W.W.Cooper)于1961 年首先提出来的。后来，查斯基莱恩（U.Jaashelainen)和李（Sang.Lee) 等人在查恩斯和库伯研究工作的基础上，给出了求解目标规划问题的一般性方法。

一、目标规划数学模型

目标规划的基本思想是，给定若干目标以及实现这些目标的优先顺序， 在有限的资源条件下，使总的偏离目标值的偏差最小。

为了具体说明目标规划与线性规划在处理问题的方法上的区别，我们首先通过下面的例子来介绍目标规划的有关概念及数学模型。

例：设某企业利用某种原材料和现有设备可生产甲、乙两种产品，其中， 甲、乙两种产品的单价分别为 8 元和 10 元；生产单位甲、乙两种产品需要消

耗的原材料分别为 2 个单位和 1 个单位，需要占用的设备分别为 1 台时和 2

台时；原材料拥有量为 11 个单位；可利用的设备总台时为 10 台时。试问： 该企业领导者应如何确定其生产方案？

如果决策者所追求的唯一目标是使总产值达到最大，则这个企业的生产方案可以由如下的线性规划模型给出：求 x1，x2 使

maxZ=8x1+10x2 (1)

且满足：

2x1 + x2 ≤11

（2）

x + 2x ≤10

（3）

 1 2

x ，x ≥0

（4）

 1 2

在（1)-（4)式中，x1 和 x2 为决策变量，Z 为目标函数值。将上述问题

化为标准后，用单纯形法求解可得最佳决策方案为x^* = 4，x^* = 3，Z* = 62

1 2

（元)。

但是，在实际决策时，企业领导者必须考虑市场等一系列其它条件，如：

（1)根据市场信息，甲种产品的需求量有下降的趋势，故甲种产品的产量不应大于乙种产品的产量。

（2)超过计划供应的原材料，需用高价采购，这就会使生产成本增加。

（3)应尽可能地充分利用设备的有效台时，但不希望加班。

（4)应尽可能达到并超过计划产值指标 56 元。这样，该企业生产方案的确定，便成为一个多目标决策问题，这一问题可用目标规划方法进行求解。

下面，我们引入与建立目标规划数学模型有关的一些概念。

1. 偏差变量 在目标规划数学模型中，除了决策变量外，还需要引入正、负偏差变量 d^{+、d-。其中，正偏差变量 d+表示决策值超过目标值的部分，负}偏差变量 d^{-表示决策值未达到目标值的部分。因为决策值不可能既超过目标值同时又未达到目标值，故恒有 d+}×d^-＝0 成立。

2. 绝对约束和目标约束绝对约束，是指必须严格满足的等式约束和不等式约束，譬如，线性规划问题的所有约束条件都是绝对约束，不能满足这些约束条件的解称为非可行解，所以它们是硬约束。

目标约束是目标规划所特有的，我们可以将约束方程右端项看作是追求的目标值，在达到此目标值时允许发生正或负偏差，因此在这些约束条件中加入正、负偏差变量，它们是软约束。线性规划问题的目标函数，在给定目标值和加入正、负偏差变量后可变换为目标约束，也可以根据问题的需要将绝对约束变换为目标约束。譬如，线性问题（1)-（ 4)式中的目标函数Z=8x1+10x2 可变换为目标约束 8x1+10x2+d-1-d+1=56，绝对约束 2x1+x2≤11 可变换为 2x1+x2+d-2-d+2-d+2=11。

1. 优先因子（优先等级)与权系数一个规划问题常常有若干个目标，决策者对这些目标的考虑。是有主次或轻重缓急的不同。凡要求第一位达到的目标赋予优先因子 P1，次位的目标赋予优先因子 P2 ，⋯⋯，并规定 Pk>>Pk+1

（k=1，2，⋯，K)表示 Pk 比 Pk+1 有更大的优先权。这就是说，首先保证 P1 级目标的实现，这时可以不考虑次级目标；而 P2 级目标是在实现 P1 级目标的基础上考虑的；以此类推。若要区别具有相同优先因子 Pk 的目标的差别，这时可分别赋予它们不同的权系数 kl（ι=1，2，⋯，L)。这些都由决策者按具体情况而定。

1. 目标规划的目标函数目标规划的目标函数（准则函数)是按各目标约束的正、负偏差变量和赋于相应的优先因子而构造的。当每一目标值确定后， 决策者的要求是尽可能缩小偏离目标值。因此，目标规划的目标函数只能是：

minZ=f（d⁺，d^-) （5)

（5)式的基本形式有三种：

（1)要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小。这时，

有

minZ=f（d⁺+d^-) （6)

（2)要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可

能地小。这时，有：

minZ=f（d⁺) （7)

（3)要求超过目标值，即超过量不限，但必须使负偏差变量要尽可能地小。这时，有：

minZ=f（d^-) （8)

对于每一个具体的目标规划问题，可根据决策者的要求和赋予各目标的优先因子来构造目标函数。

对例 1 所描述的生产方案的决策问题，如果决策者在原材料供应受严格限制的基础上考虑：首先是甲种产品的产量不超过乙种产品的产量；其次是充分利用设备的有效台时，不加班；再次是产值不小于 56 元。并分别赋予这三个目标 P1，P2，P3 优先因子。则，这一决策问题的目标规划模型就是：

minZ = P d ⁺ + P (d ^- + d ⁺ ) + P d ^- （9）

1 1 2 2 2 3 3

2x1+x2≤11 （10)

x - x + d ^- - d ⁺ = 0 （11）

1 2 1 1

x + 2x + d ^-

- d ⁺

= 10

（12）

8x + 10x + d ^- - d ⁺

= 56

（13）

1 2 3 3

x ，x ，d ^- ，d ⁺ ≥0

（i = 1，2，3） （14）

1 2 i i

目标规划的一般性数学模型如下：

假定有 L 个目标，K 个优先级（K≤L)，n 个变量。在同一优先级 Pk

中不同目标的正、负偏差变量的权系数分别为ω ⁺ 、ω ⁻ ，则多目标规划问

题可以表示为：

k L

minZ = ∑ P

k=1

− − + +

k kl l kl l l=1

(15)

∑c( l) x

+ d ⁻ − d⁺ = g

(l = 1,

2, , L) (16)

j

j=1

n

j l l l

∑aij x j ≤(=, j=1

≥)bl (i = 1, 2,

m) (17)

xj≥0(j=1,2,⋯,n) (18)

d ⁺ , d ⁻ ≥0

(l = 1,2, ,

L) (19)

在以上各式中，ω ⁺ 、ω ⁻ 分别为赋予P 优先因子的第l个目标的正、负偏

kl kl k

差变量的权系数，g

为第ι个目标的预期值，x 为决策变量，d + 、d^{- 分}

ι j l l

别为第ι个目标的正、负偏差变量，（15)式为目标函数，（16)式为目

标约束，（17）式为绝对约束，（18）式和（19）式为非负约束，c^(l)、a 、

、bi 分别为目标约束、绝对约束中决策变量的系数及约束约值。其中，i=1， 2，⋯，m；j=1，2，⋯，n；k=1，2，⋯K；l=1，2，⋯，L。

下面我们来介绍目标规划的求解方法

二、求解目标规划的单纯形方法

目标规划的数学模型结构，与线性规划的数学模型结构没有本质的区别，所以可用单纯形法求解目标规划问题。但考虑到目标规划模型的特点， 在用单纯形法求解目标规划时，应作以下规定：

（1）因为目标规划问题的目标函数都是求最小值，所以c j - Zj ≥0

（j=1，2，⋯，n)为最优判别准则。

（2)因为非基变量的检验数中含有不同等级的优先因子，即：

k

C j - Z j = ∑akj Pk ( j =1，2， ，n），而且P1 >> P2 >>

k =1

Pk ，所以从每个检

验数的整体来看，检验数的正、负首先决定于 P1 的系数α1j。的正、负，若α1j=0，则检验数的正、负就决定于 P2 的系数α2j 的正、负，下面可依此类推。

求解目标规划问题的单纯形法计算步骤如下：

（1)建立初始单纯形表，在表中将检验数行按优先因子个数分别排成 K 行，置 k=1。

（2)检查该行中是否存在负数，且对应的前 k-1 行的系数是零。若有， 取其中最小者对应的变量为换入变量，转（3)。若无负数，则转（5)。

（3)按最小比值规则（θ规则)确定换出变量，当存在两个和两个以上相同的最小比值时，选取具有较高优先级别的变量为换出变量。

（4)按单纯形法进行基变换运算，建立新的计算表，返回（2)。

（5)当 k=K 时，计算结束，表中的解即为满意解。否则置 k=k+1，返回

（2)。

例 2：试用单纯形法求解上节例 1 所描述的目标规划问题（9)-（14)式。解：首先将这一问题化为如下的标准形式：

minZ = P d ⁺ + P (d^- + d ⁺ ) + P d^-

1 1 2 2 2 3 3

2x1+x2+x3 =11

x - x + d^- - d ⁺ = 0

1 2 1 1

x + 2x + d ^-

- d ⁺

= 10

8x + 10x + d ^- - d ⁺ = 56

1 2 3 3

x ，d ^- ，d ⁺ ≥ （i = 1，2，3）

i i i

（1）取 3，d^{- ，d- ，d- 为初始基变量，列出初始单纯形表，}

见表 4-

x 2 3

1。

（2)取 k=1，检查检验数的 P1 行，因该行无负检验数，故转（5)。

（5)因为 k=1＜K=3，置 k=k+1=2，返回（2)。

（2)检查发现检验数 P2 行中有-1，-2，因为有 min｛-1，-2｝=-2，所以x2 为换入变量，转入（3)。

（3)在表 4-1 中，按θ规则计算最小比值：

θ = min11 , 10 ,

56 = 10





所以d^{- 为换出变量，转入（4）。}

5 10 2

（4)进行换基运算，得表 4-2。以此类推，直至得到最终单纯形表为

止，如表4 - 3所示。由表4 - 3可知，x^* = 2，x^* = 4为满意解。检查表4 - 3

1 2

中的检验数行，发现非基变量d + 的检验数为0，这表明该问题存在多重

解。在表4 - 3中，以非基变量d + 为换入变量，d - 为换出变量，经迭代得到

3 1

代得到表4 - 4。从表4 - 4可以看出，x^* = 10 / 3，x ^* = 10 / 3也是该问题的

1 2

满意解。实事上，上述两组满意解的线性组合均是该问题的满意解。