表 10-4 某地区年降水量(单位：mm)

1. 首先作灾变映射，建立 GM(1，1)模型。

x⁽⁰⁾ (i′) = {x⁰ (1′) ，x⁽⁰⁾ (2′)，x⁽⁰⁾ (3′)，x ⁽⁰⁾ (4′)，x ⁽⁰⁾ (5′)}

作映射

= {320，310，300，313.8，318.5}

= {x⁽⁰⁾ (3) ，x⁽⁰⁾ (8)，x⁽⁰⁾ (10) ，x⁽⁰⁾ (14)，x⁽⁰⁾ (17)}

p∶{i′}→{q}

对灾变日期序列

p={p(1′)，p(2′)，p(3′)，p(4′)，p(5′)}

={3，8，10，14，17}

建立 GM(1，1)模型

为了书写方便，不妨将 p(i′)记为 p(i)(i=1，2，3，4，5)将 p 中的数据作一次累加处理：

p⁽¹⁾(1)=p(1)=3

p⁽¹⁾(2)=p(1)+p(2)=11

p⁽¹⁾(3)=p(1)+p(2)+p(3)=21

p⁽¹⁾(4)=p(1)+p(2)+p(3)+p(4)=35

p⁽¹⁾(5)=p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+p(5)=52

• p⁽¹⁾(t)可用下述微分方程拟合：

dp(1)

dt

而系统辨识参数为

+ ap⁽¹⁾ = u

(11)

a = ( B^TB) ⁻¹ B^TY

(12)

u M

 

1. 式中：

− 1 [p⁽¹⁾ (2 + p⁽¹⁾ (1))] 1 

 

 1   − 7 1

− [p⁽¹⁾ (3) + p⁽¹⁾ (2)] 1   

B =  2  =  − 16.5 1

 1 

− 28 1

− [p⁽¹⁾ (4) + p⁽¹⁾ (3)] 1  





 −

2

1 [p⁽¹⁾ (5) + p ⁽¹⁾ (4)]

2





1

 − 43.5 1

Y = [ p(2), p(3), p(4), p(5)]^T

= [8,

10, 14,

17]^T

经计算得:

a = ( B^TB) ⁻¹ B^TY

= − 0.25361

u

M 6.288339 

   

因此(5)式就为：

DP(1)

DT

- 0.25361p⁽¹⁾

= 6.288339 (13)

1. 式的时间响应为：

p⁽¹⁾(i+1)=27.677e^-0.25361i-24.677 (14)

(2)误差分析：灾变日期数列的预测计算值与实际值的相对误差计算如下：

显然，最大相对误差为 5.1％。所以上述模型(14)式可用于预测。(3)预测：

将 i=5，和 i=6 分别代入(14)式得：

p⁽¹⁾(5)=51.662，p⁽¹⁾(6)=73.342

因此：p(6)=p⁽¹⁾(6)-p⁽¹⁾(5)=21.68

由于从 n=17 算起，21.68 与 17 之差为 4.68，所以从现在算起将在 4 年左右发生下一次旱灾。