表 10-8 种草养兔生产数据

在图 10-5 中，x1：售兔收入；x2：繁殖用种兔；x3：种草面积；x4：种兔投资；x5：种草投资；u：初投资。

为此，我们需建立整个系统的模型，以便分析各环节间的动态关系以及系统的优化调控决策。

1. 种兔与其投资环节以数据{x ⁽⁰⁾ (i)}与{x^{(0) (i)}建立GM(1，2)模型, 构造}

数据矩阵为：

 1  ²

( 0)

2

1

(0)

4

 2 (0 ) 

− 2 ∑x2

(i) + ∑x 2

(i), ∑x 4 (i)

  i=1

i=1

 i= 1 

 1  ³

2  3

 − 148.5 647 

− ∑x⁽⁰⁾ (i) + ∑x ⁽⁰⁾ (i), ∑x ⁽⁰⁾ (i)

 2  i=1 2

2

i=1

 i= 1 4

 − 304, 1192

X(2,

4) = 

 =  

− 1  ⁴

( 0)

3

(0)

(0 ) 

− 491.5,1782 

_{ 2} ∑x2

(i) + ∑x 2

(i), ∑x 2

(i)

− 742,

2708

  i=1

i=1

 i= 1   

 1  ⁵

4  5 

− ∑x⁽⁰⁾ (i) + ∑x ⁽⁰⁾ (i), ∑x ⁽⁰⁾ (i)

 2 

2

i=1

2

i=1

 i= 1 

Y = [x ⁽⁰⁾ (2)，x⁽⁰⁾ (3)，x ⁽⁰⁾ (4)，x⁽⁰⁾ (5)]^T = [131，180，195，306]

5 2 2 2 2

按最小的乘法解系统辨识系数 a，b 为：

a = [ X(2,4)]⁻¹ ·X(2,4) ^T ·Y

= 2.0078

b

5 0.6632

   

得该环节的微分方程为：

dx(1)

² + 2.0078x⁽¹⁾

= 0.6632x⁽¹⁾

(13)

dt 2 4

记s为Laplace算子，则从投资x⁽¹⁾ 到种兔x⁽¹⁾ 的动态环节框图及传递函数

4 2

为：

2.种草及其投资环节 建立种草面积数据列{x^{(0) (i)}与其投资数据{x(0}) (i)}

3 s

的 GM(1，2)模型，系统辨识系数为：

a = 1.9917

b 0.2395

该环节的微分方程为：

dx(1)

   

³ + 1.9917x⁽¹⁾ = 0.2395x⁽¹⁾

(14)

dt 3 5

该动态环节框图及传递函数为：

1. 养兔收入与种兔、种草环节 根据数据列{x ⁽⁰⁾

   (i)}，{x^{(0) (i)}及{x(0)} (i)}

建立 GM(1，3)型，构造数据矩阵为：

1 2 3

 1  ²

( 0)

0

( 0)

 2 ( 0)

2

(0)

− 2 ∑x1

(i) + ∑x1

(i), ∑x2

(i),

∑x 3 (i)

  i=1

i=1

 i=1

i=1 

 1  ³

2  3 3 

− ∑x⁽⁰⁾ (i) + ∑x⁽⁰⁾ (i) , ∑x⁽⁰⁾ (i), ∑x⁽⁰⁾ (i)

X(1,

3) = 



2  i=1 1

1  ⁴

1

i=1

3

 2

 i=1

 4

3

i=1 

4 

− ∑x⁽⁰⁾ (i) + ∑x⁽⁰⁾ (i), ∑x⁽⁰⁾ (i), ∑x⁽⁰⁾ (i)

 2  i=1 1

1

i=1

 i=1 2

3

i=1 

 1  ⁵

4  5 5 

− ∑x⁽⁰⁾ (i) + ∑x⁽⁰⁾ (i), ∑x⁽⁰⁾ (i), ∑x⁽⁰⁾ (i)

 2  i=1 1

1

i=1

 i=1 2

i=1 

 − 8646.5 214 358 

 − 17709 394 591 

=  

 − 28617 589 850 

− 43134 895 1254

 

Y = [x⁽⁰⁾ (2)，x⁽⁰⁾ (3)，x⁽⁰⁾ (4)，x⁽⁰⁾ (5)]^T = [7625，10500，11316，17818]^T

5 1 1 1 1

系统识别参数为：

a

 2.0399 

b = [ X(1,3) ^T ·X(1, 3)]⁻¹·X(1, 3) ^T ·Y =  

_{1 5} 119.3953

b  − 0.749 

2

得其微分方程为：

dx(1)

¹ + 2.0399x ⁽¹⁾



= 119.3953x⁽¹⁾ − 0.749x⁽¹⁾



(15)

dt 1 2 3

相应的动态框图及传递函数为：

综合上述结果，可得到系统框图及各个环节的传递函数为(图 10-6)。

在图10 - 6中， ⊗ 为加入系统中的一个灰色反馈参数。以x ⁽¹⁾为输出，

u⁽¹⁾为输入，系统的传递函数为：

x⁽¹⁾ (s)

Φ(s) = ¹ =

u⁽¹⁾ (s)

19.27(1 + 0.502s)

0.1225s³ + 0.74s² + (1.49 − 9.674 ⊗

₃ )s + 1 − 19.27 ⊗3

(16)

(二)系统的动态特征分析及优化调控模型

1.系统的动态特征分析 传递函数Φ(s)的分母为系统的特征多项式，通过对它的分析，可以了解该系统的主要动态特征，考虑到经济生态系统中 3 阶变量的实际意义不大，故令 0.1225s³=0，则系统的特征方程为：

0.74s² + (1.49 - 9.674 ⊗ )s + 1 - 19.27 ⊗ = 0 (17)

系统的特征根为：

s1,2 =

2×0.74

①若(1.49 - 9.674 ⊗ )² ＞4×0.74(1- 19.27 ⊗ )，则方程有两个不相等的实根，系统动态一方面受正指数作用，另一方面受负指数的作用，因而其发展是有限度的，会饱和的，即达到一定限额后，就会稳定在这一水平上，不再发展。

②若(1.49 - 9.674 ⊗ ) ² ＜4×0.74(1- 19.27 ⊗ )，则方程有两个复数根, 系

统将出现摆动，效益时高时低。

③ 令1.49 - 9.674 ⊗3

= 0，则⊗3

= 1.49

9.674

= 0.154 ，当⊗3

＞0.154时, 系统

的效益将不断增长，永无止境。不难看出，这时⊗3 是有下界而无上界的灰

色参数调节这个参数，将使系统保持良好发展。

④ 系统增长的快慢与系数 a 有关：

a = − (1.49 − 9.674 ⊗ 3 ) = 9.674 ⊗ 3 −1.49

2×0.74 1.48

因为 a 是特征根的实数部分，若系统的动态有正指数成分，a 必是其中的一部分，且 a 越大增长越快。

⑤ 特征方程式的根，若全为负实根，且 a 是其中绝对值最小者，则系统的整个动态过程，也就是由初态发展到稳定态的限额过程，其时间长短可用

τ = 3～4 1 进行估计。

a

1. 系统的优化调控模型 灰色去余控制理论告诉我们，要实现系统的优化调控，只有将影响系统理想品质的多余项去掉，才能达到目的。为此，需要在原系统的结构模型中加入一个与多余项的传递函数相等，符号相反的去余项，以抵消多余项的作用。在原系统的结构模型中，容易看出，这个多余项就是在前面加入系统中的灰色参数⊗3 。

通过前面的分析，我们知道，系统的传递函数为：

X(1)

1 =

19.27(1 + 0.502s)

(18)

U(1)

0.74s² + (1.49 − 9.674 ⊗ )s + 1 − 19.27 ⊗

3 3

因为种草养兔业生产属于生物生产过程，系统的变化较慢，系统 2 阶变

量也可以暂不考虑，即令 0.74s²=0，则系统微分方程可以写成：

dx (1)

(1.49 − 9.674 ⊗3

) ¹ + (1- 19.27 ⊗

dt

(1)

3 1

= 19.27μ ⁽¹⁾

+ 9.67μ ⁽⁰⁾

(19)

时间响应函数为：

x⁽¹⁾ ( t) = (x⁽⁰⁾ (1) − c u ⁽¹⁾ − c u⁽⁰⁾ 1− 19.27 ⊗ 3 t + c u⁽¹⁾ + c u⁽⁰⁾

(20)

1 1 1

2 e1.49 −9.874 ⊗ 1 2

考虑 e 的正指数因数，以保持系统的稳定增长，则：

1

19.27 ⊗3 ＞1

⊗ 3 ＞ 19.27 = 0.052

9.674 ⊗ ＜1

⊗ ＜ 1

= 0.103

^{3 3} 9.674

即，将⊗ 3 调节在0.052≤ ⊗ 3 ≤0.103的范围内。就可保持系统能够满足我们希望的品质。这一决策表明，经过优化，去余项⊗3 由大于0.154， 且只有下界而无上界的灰色参数，可进一步控制在 0.052—0.103 的灰色区间内，从而为决策者提供了便于择优控制的范围。事实上，从养兔收入中提取5.2％至 10.3％的资金用于系统再生产的投资，在实际生产中是完全可以做到的，而且也清楚地反映出养兔是一种投资小收益大的生产事业，在经济条件尚有困难的地区也是容易推广的富民事业。