第三节 灰色线性规划及其应用

我们在前面探讨了线性规划方法在物资调运、资源利用、合理下料、农业生产结构调整等规划方面的应用问题。然而，线性规划模型是静态模型， 无动态性可言，而且还常常无解，不能适宜自然环境、技术条件和社会经济状况发展变化的要求。因此，我们用它来研究问题时，就难免存在这样或那样的困难。而其它的一些规划方法在解决实际问题时，都因存在算法实现上的困难。因而其应用的广泛性也受到了一定的限制。鉴于这种情形，有必要探讨一种理论上可行，算法实现比较简便的规划方法。为农业生产结构的优化服务。在这方面，灰色预测与含有灰元的线性规划相结合的方法——灰色线性规划方法为我们提供了一种可供尝试的途径。

一、灰色线性规划的数学描述灰色线性规划的一般形式为：

求max(min)Z = CX = ∑ci x i

i=1

⊗ (A) X≤(=, ≥b) (2)

(1)

满足： X≥0

(3)

其中，X=[x1，x2，⋯，xn]T 为模型变量向量；C=[c1，c2，⋯，cn]的目

标函数的价值系数向量，c j (j = 1，2， ，n)可以是灰数 ;⊗(A) 为约束条件的

系数矩阵，A为⊗ (A)的白化矩阵，即

 ⊗11

⊗12

⊗1n 

 ⊗ ⊗ ⊗ 

⊗ (A) = 

21 22 2n 

Μ Μ Μ

(4)

⊗ ⊗ ⊗ 

 m1 m2 mn 

 a11

a12

a1n 

A =  a 21

a 22

a2 n 

(5)

 Μ Μ Μ 

 

am1

am2

a mn 

⊗ij ∈[aij，a ij ]，aij和aij分别为 ⊗ij 的下限值和上限值；b = [b1，

b2，⋯，bm]T 为约束向量。

在对灰色线性规划求解时，要首先将灰色参数白化，一般可以指定 A 中元素的值，即将⊗ (A)中的元素白化。首先按最小白化值aij作一次计算，如果无解，则用最大白化值aij作一次计算，或者取区间[a ij，a ij ]中其它白化值进行计算，如果白化参数选取合适，则往往能够使规划从无解变为有解。

约束值 b 可以这样得到，若对第 i 个约束值 bi(i=1，2，⋯，m)，有一

组白化值序列：

b(0) = {b(0) (1)，b(0) (2)， ，b (0) (N)} (6)

i i i i

若对b(0) 作AGO(一次累加)后得b(1) ，以b(1) 数据建立GM(1，1)预测模型 , 则

i i i

可以通过模型求出预测值b∃(0) (k)(k＞N)。作规划时，可按约束条件

 b∃( 0) (k)

1

 b∃( 0) (k)

⊗ (A) X≤ 2 

 Μ 

(7)

 b∃( 0)

求出 k 时刻的灰色线性规划值，在 k＞N 的条件下取不同值，可以得到未来发展时刻的各种规划值，这样不但可以知道现在条件下的最优结构，而且还可以知道最优结构的发展变化趋势。

二、应用实例

笔者曾研究了西北地区(包括陕西、甘肃、宁夏、新疆、青海五省区)种植业结构，运用灰色线性规划方法建立了本区种植结构的优化模型。现简述如下。

(一)模型变量

本模型由下述 14 个变量描述： x1：水稻种植面积(万亩)； x2：水地小麦播种面积(万亩)； x3：旱地小麦播种面积(万亩)； x4：水地玉米播种面积(万亩)； x5：旱地玉米播种面积(万亩)； x6：水地高粱播种面积(万亩)； x7：旱地高梁播种面积(万亩)； x8：其它杂粮播种面积(万亩)； x9：水地复种面积(万亩)； x10：旱地复种面积(万亩)； x11：棉花播种面积(万亩)； x12：油料播种面积(万亩)； x13：大麻播种面积(万亩)； x14：其它经济作物播种面积(万亩)。(二)约束条件

本模型共有下述 15 个约束条件：

  1. 总耕地面积限制； (2)水田面积限制； (3)水地面积限制； (4)旱地面积限制；

(5)水地玉米播种面积约束； (6)旱地玉米播种面积约束； (7)水地高粱播种面积约束； (8)旱地高粱播种面积约束； (9)杂粮播种面积约束； (10)水地复种面积约束； (11)旱地复种面积约束；

(12)棉花需求量约束； (13)油料播种面积约束； (14)大麻播种面积约束； (15)经济收入要求。

(三)目标函数：

使全区种植业总产值达到最大值(以 1980 年不变价格计算)。(四)模型参数的白化

笔者运用灰色预测方法(详见上节内容)，建立了 GM(1，1)预测模型群， 对各类耕地面积以及主要农作物的单位面积产量作了预测，由此确定了模型中有关灰色参数的白化值(如表 10-5 所示)。

(五)白化模型及其计算结果1990 年的规划模型为：

求 :maxZ=156.326x1+133.702x2+66.536x3+103.616x4+51.808x5+45x6+22

.5x7+9.839x8+19.678x9+9.839x10+88.774x11+74.46x12+59.166x13+180x14 满

足：

8 14

∑xi + ∑x i ≤17257

x1 = 500

i=1

3

i=11

3 13

∑x2 i + 0.6x14 ≤8169.5 ∑x2 i + 1 + x8 + ∑xi + 0.4x14 ≤8587.5

i=1

x4 ≥816.95

x6 ≥100

i=1

x5≥858.75

x7 ≥150

i=11