（四）正态分布

如果随机变量ｘ的概率密度函数为：

( x −μ )²

f (x) =

−

e 2σ ²

(−∞ < X < +∞)

则称 X 服从正态分布，记作 X～N（μ，σ²），其中μ是分布的数学期望，

σ² 是分布的方差。

正态分布的概率密度函数 f（ｘ）具有下列性质：

1. 在直角坐标系内ｆ（ｘ）的图形呈钟形，以ｘ＝μ为对称轴，呈左右对称。

2. 在ｘ＝μ处，ｆ（ｘ）取最大值，如 f (μ) =

1

1

；x 越远离μ，ｆ

（x）的极大值ｆ（μ）＝ f (μ) = 可知，σ越小时，曲绕越陡峭；σ越

大时，曲线越平缓（见图 10—7）。反之，如果б为固定，改变μ的值，则 f

（x）的图形沿着 x 轴平行移动，而曲线的形状不改变（见图 10—8）。

图表 10—7

图表 10—8

正态分布的分布函数为：

( x−μ) ²

F( x) =

1 ∫x e−

2σ2 dx ⑧

−∞

正态分布是由德·莫阿弗尔（A.de Moiver，1667～1752）于 1933 年首先发表的，是概率论中最重要的一种分布，也是最常见的一种分布。例如， 测量误差的分布；炮弹弹头落点的分布；人的生理尺寸、特征、身长、体重等的分布都为正态分布。

一般说来，若影响某一数量值的随机因素很多，而各因素所起的作用不太大，则这个指标就服从正态分布。许多分布可用正态分布上来近似，另一些分布可以通过正态分布来导出。

正态分布是一个分布族。对应于不同的参数μ和σ，会产生不同的正态分布。参数μ＝0，σ²＝1 的正态分布称为标准正态分布。当随机变量ｘ服从标准正态分布时，就记作ｘ～ｎ（0，1），其密度函数为：

f(x) =

1 e − x ⑨

2

分布函数是：

F( X) = φ(X) =

1 ∫x

• x2 dx

e 2

−∞

⑩式积分的数值为图 10—9 所示的阴影部分面积。

图 10—9ф（X）是 X 的函数，已制成的ф（X）的函数值表。要求标准正态分布的分布函数值时只需要查表即可。由于标准正态分布是以 X＝0 为中心轴的对称分布，并注意到分布曲线同横轴所包围的面积是常数 1，可知φ

（X） 有 以 下 性 质 ： φ（－X）＝1－φ（X）

四、统计量及其分布