（二）数学期望和方差

数学期望和方差是描述随机变量概率分布的两个最重要的数字特征。数学期望又称期望值或均值，代表随机变量分布的集中趋势用 E（X）或

μ表示。离散型随机变量 X 的期望值就是随机变

图 10—4 概率分布图

图 10—5 累计概率分布图

量的取值用其出现概率进行加权的平均数，以公式表示为：

E(X) = ∑xi P( X = xi ) = μ

数学期望有以下几个重要性质：

1. 设 C 是常数，则有 E（C）＝0

2. 设Ｘ是一个随机变量，C 是常数，则有 E（CX）＝CE（X）。

3. 设 X，Y 是任意两个随机变量，则有

   E（X＋Y）＝E（X）＋E（Y）。这一性质可以推广到任意有限个随机变量之和的情况。

4. 设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，则有 E（XY）＝E（X）E（Y）

   。这一性质也可以推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情况。随机变量的方差用未描述分布的高中趋势，常记作 D（X）或σ2，定义式

为：

D( X) = E{[ X − E(X)]²} = σ²

方差的平方根称为标准差或均方差，记作б，即：

σ =

由方差的定义式，对于离散型随机变量有：

D( X) = E[(X − μ) ² ]

= ∑( x − μ)² P( X = x )

在计算随机变量调的方差时，经常用到以下公式：

D( X) = E(X ² ) − [E( X)]²

上式可利用数学期望的性质推得：

D( X) = E{[X − E(X)]²}

= E{X ² − 2XE( X) + [ E(X)]²}

= E(X ² ) − [E( X)]²

方差主要有以下几个重要性质：

1. 设 C 是常数，则 D（C）＝0。

2. 设 X 是一个随机变量，C 是常数，则有 D（CX）＝C²D（X）。

3. 设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，则有 D（X±Y）＝D（X）±D

（Y）

上例中的资料，其数学期望和方差的计算如下：

10

μ = ∑xi P(x = xi ) = 0 ×

i− 0

+ 3 × 3

50

+ 4 ×

6 + 5 ×

50

8 + 8 × 10

50 50

+ 7 × 7

50

+ 8 ×

5 + 9 ×

50

3 + 10 × 1

50 50

= 5.38

σ² = (xⁱ − μ) P² (X = x ) = (0 − 5.38)² × 1

50

+ (1 − 5.38)² × 2

50

+ (2 − 5.38) ² ×

4 + (3 − 5.38) ² ×

50

3 + (4 − 5.38)² × 6

50 50

+ (5 − 5.38)² ×

8 + (6 − 5.38) ² × 10 + (7 − 5.38)² × 7

50 50 50

+ (8 − 5.38) ² ×

= 5.1956

5 + (9 − 5.38) ² ×

50

3 + (10 − 5.38) ² × 1

50 50

下面介绍几种常见的离散型随机变量的概率分布。