玻尔兹曼分布

玻尔兹曼（Ludwig Boltzmann， 1844—1906）是奥地利著名物理学家，曾是斯忒藩（J．Stefan）的学生和助教。1876 年任维也纳物理研究所所长，他用毕生精力研究分子运动论，是统计物理学的创始人之一。 1866 年，年轻的玻尔兹曼刚从维也纳大学毕业，他想从力学原理推

导出热力学定律。这年，他发表了一篇论文，企图把热力学第二定律跟力学的最小作用原理直接联系起来，但论据不足，没有成功。正好这时

① 详见沈慧君，物理，15,(1986),p.323．

① 详见郭奕玲、沈慧君，《著名经典物理实验》，（北京科技出版社，1991 年），第十一章。

麦克斯韦发表分子速度分布律不久，引起了玻尔兹曼的极大兴趣，但他感到麦克斯韦的推导不能令人满意，于是就开始研究分子运动论。

1868 年玻尔兹曼发表了题为《运动质点活力平衡的研究》的论文。他明确指出，研究分子运动论必须引进统计学，并证明，不仅单原子气体分子遵守麦克斯韦速度分布律，而且多原子分子以及凡是可以看成质点系的分子在平衡态中都遵从麦克斯韦速度分布律。

1871 年，玻尔兹曼又连续发表了二篇论文，一是《论多原子分子的热平衡》，另一是《热平衡的某些理论》。文中他研究了气体在重力场中的平衡分布，假设分子具有位能 mgz，则分布函数应为：

−β( 1 mv2 + mgz)

f = αe 2 (2 − 8)

其中v2 = v2 + v2 + v2 ，α、β为常数，取决于温度。

x y z

玻尔兹曼在他的研究中作出下列结论：“在力场中分子分布不均匀、位能不是最小的那部分分子按指数定律分布”；“在重力作用下，分子随高度的分布满足气压公式，所以气压公式来源于分子分布的普遍规

律。”

所谓气压公式是从 17 世纪末以后许多人研究大气压强经验所得。哈雷分析托里拆利、盖里克（O.von Guericke，1602—1686）和波意耳的

实验，曾得到这样的结论：高度h = Aln B ，其中A、B、C均为常数。

C

普拉斯（Laplace，1749—1827）则于 1823 年第一次用密度的形式表示： ρ=ρ0e−ah，

α是一常数，当时拉普拉斯未加解释。玻尔兹曼从分子运动论推导出这一结果，对分子运动论当然是一个极有力的证据。

玻尔兹曼又进一步将（2−8）式推广到任意的位场中，得

−β 1 m(v2 + v2 +v2 )+U( x、y、z)

f (v

，v ，v

，x，y，z) = ae 2

x y z

 (2 − 9)

x y z

这里 U(x，y，z)表示气体分子在位场中的位能，(2−9)式也可称为玻尔兹曼分布，后来又表述为：

其中E＝  1 mv2  +

f=ae−E/kT(2−10)

V，（2 - 10）式是统计物理学的重要定律之

∑ 2

一。

 ∑

在 1871 年的论文中，玻尔兹曼还提出另一种更普遍的推导方法，不需要对分子碰撞作任何假设，只假设一定的能量分布在有限数目的分子之中，能量的各种组合机会均等（他假定在动量空间内的能量曲面上作均匀分布），也就是说，能量一份一份地分成极小的但却是有限的份额， 于是把这个问题进行组合分析，当份额数趋向无穷大，每份能量趋向无穷小时，获得了麦克斯韦分布。玻尔兹曼这一处理方法有重要意义，后

来普朗克（Planck）正是采用这种方法建立量子假说的。