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移除书签牛顿的早期研究
牛顿在大学学习期间，接触到亚里士多德的局部运动理论，后来， 又读到伽利略和笛卡儿的著作，受他们的影响，开始了动力学的研究。开普勒和布里阿德（I.Bulliadus, 1605—1694）的天文学工作启示了他对天文学的兴趣，使他产生了证明布里阿德的引力平方反比关系的想 法，布里阿德曾在 1645 年提出一个著名假设，从太阳发出的力，应与距太阳的距离的平方成反比例；而开普勒则猜想太阳与行星之间靠磁力作用。1664 年上半年，牛顿摆脱了亚里士多德的影响，转而接受伽利略重视实验和数学的观念。笛卡儿关于寻求“自然的第一原因”的思想，也大大激励了牛顿。惯性定律、碰撞规律和动量守恒、以及圆周运动的解析，就是直接从笛卡儿的著作中学习到的成果。
在牛顿的手稿中，令人特别感兴趣的，是他在 1665—1666 年写在笔记本上未发表的论文。在这些手稿中，提到了几乎全部力学的基础概念和定律，对速度给出了定义，对力的概念作了明确的说明，实际上已形成了后来正式发表的理论框架。他还用独特的方式推导了离心力公式。
离心力公式是推导引力平方反比定律的必由之路。惠更斯
（Christian Huygens, 1629—1695）到 1673 年才发表离心力公式。牛顿在 1665 年就用上这个公式，肯定是他自己独立作出的成果。然而问题在于，他这时是从什么角度来认识离心力的呢？
下面让我们根据他未发表的手稿来追溯他推导离心力公式的思路吧
①。
- 牛顿在分析圆周运动和推求离心力时，考虑有一小球在空心的球
面上运动，如图 1−4。这个物体必受一指向中心 n 的力作用。他先考虑半个圆周，物体受力可以用一内接正方形的两条边来求，牛顿用下式表示：
顶角能力 = ab
球运动的力 bf
推广一步，得
4顶角受力的总和 = 正方形边长的总和
球运动的力 圆半径
再推广到任意的规则多边形，得
所有顶角冲击的总和 = 边长的总和
球运动的力 圆半径
① J.Herivel,Background to Newton’s Principia,Oxford,1965.
于是他写道：“如果物体被无限多边的外接等边多边形的边（也即圆本身）反弹，所有反弹的力之比等于所有各边对半径之比。”
■图 1−4 牛顿分析圆周运动用图
用现代述语就是：离（向）心力对时间的积分与动量之比等于 2π。结果是正确的，但是含意模糊，没有直接求得离心力。这就是牛顿初次推导离心力的尝试。
- 接着，牛顿又通过圆周运动和单摆运动比较“离心力”和重力。他用图 1−5
表示圆周运动和单摆运动。c 沿圆周 cgef 运动，b 沿摆
长 ab=ad 的圆弧摆动，d 为圆 cgef 的中心，牛顿写出下列关系： “ad∶dc=重力∶中心 d 施于 c 的力。”
- 在 1665
年另一份手稿上，牛顿写下了如下关系：“一个物体在等于某一圆周运动的离心力作用下沿直线运动，该圆周半径为 R，则当
圆周运动走过距离为R时，物体沿直线走过的距离为 1 R。”
2
这个关系正是离心力公式的特殊形式，请看：
v2
只要假设已知离心加速度为α = ，则沿直线走过的距离为
R
1 2 1 v2 R 2 1
at = · ( ) =
R 与牛顿给出的结果一致，不过当时牛顿并
2 2 R v 2
没有给出导致上述关系的证明。
- 在 1669 年的手稿中，终于找到了牛顿推导离心力公式的方法， 他采用图
1−6 并说明如下：
■图 1−6 牛顿推导离力心
“当沿圆周 AD，从物体 A 的中心朝向 D 的力具有如下大小：在相当于 AD 这段时间内，物体离开圆周有一段距离，这段距离相当于沿切线不受力自由行走的距离。
“假定这个力以重力方式沿直线作用，它就会使物体走过的距离与时间的平方成正比。为了求得在转一周 ADEA 的期间走过的距离，我们来找一线段，这个线段与 BD 之比正好等于周长 ADEA 的平方与 AD 的平方之比。”
牛顿在手稿中给出答案，这个距离“等于 19.7392 半径。”
v2
我们可以作一简单计算：假设已知加速度为a =
t = 2πR ，则
v
，时间
R
1 2 1 v2 2πR 2 2
d = at = · ·( ) = 2π R，
2 2 R v
正好等于 19.7392R，可见牛顿推证的关系就是 d=2π2R。
① 圆周运动走过距离 R 的时间应为
以上的资料说明了什么呢？
-
证实牛顿在 1665 年已经掌握离心力公式，因此他从圆周运动推出平方反比关系是完全可能的；
-
但是他推导离心力的思路非常独特，他根据的是笛卡儿的碰撞理论和伽利略的时间平方关系，加上他自己高明的数学才能，得到的是物理意义含混不清的数学关系，可见，他当时没有明确圆周运动的力学特征；
-
牛顿当时还没有认识到引力的普遍性。
