索末菲全面推广玻尔理论

和上述理论家的工作几乎同时，索末菲在 1915 年独立地提出了自己的理论。索末菲是德国慕尼黑大学的著名理论物理教授，他擅长理论分析。早年在博士论文工作中就发展了新的数学方法——复变函数方法。后来在应用这个方法中取得多项成就。20 世纪初他曾对电子理论作过系统研究。很早他就在论战中站在相对论一边。

1911 年，索末菲开始卷入量子论的工作，也尝试用一种新的量子假说来解释非周期过程，不过没有取得实际成果。不久，帕邢和拜克(ErnstBack)研究强磁场作用下的塞曼效应，他们的发现（即帕邢-拜克效应）吸引索末菲把洛仑兹弹性束缚电子理论推广到反常塞曼效应。正好这时，他收到了玻尔在《哲学杂志》1913 年 7 月那一期上发表的第二篇论文的抽印本。他立即给年轻的玻尔写信，信中写道①：

“谢谢您寄赠大作，我已在《哲学杂志》上读过了。我曾长期考虑如何用普朗克常数表示里德伯-里兹常数的问题，几年前我曾跟德拜讨论这个问题。尽管我对各种原子模型仍然有某种怀疑，但无疑这一常数的计算是一很大成就。”

索末菲在 1914 年冬季开设系列讲座：《塞曼效应和光谱线》。这一讲座成了讲述玻尔理论的课程，就在这一课程中，索末菲广泛讨论了玻尔理论的推广，其中包括椭圆轨道理论和相对论修正。他的讲稿迟至 1915 年底才交付出版，部分原因是想等爱因斯坦的意见。因为这时正值爱因斯坦发展了广义相对论，他不知道爱因斯坦的新理论会不会影响对玻尔原子理论的修正，直至接到爱因斯坦答复说不影响时，他才正式向巴伐里(Bavarian)科学院提交这方面内容的报告。

索末菲首先把氢原子中电子的开普勒运动看成是二维问题，引入平面极坐标，在轨道平面内以矢径Υ和方位角ψ表示这个运动。他假设不仅ψ，而且Υ，都要服从量子条件，即：

∮pr dr = n＇h,

与 ∮pψ dψ = kh,

内 n′为辐向量子数，k 为方位量子数。索末菲还推出： k/（k+n′）=b/α,

内 a、b 分别为椭圆的长半径和短半径，并证明相应的定态轨道能量为： E=-Rhc/(k+n′)2

对类氢原子，Z＞1，则

① 转引自 J.Mehra,H.Rechenberg,The Historical Development of Quantum Theo- ry, vol.1, Partl,Springer- Verlag,1982 p.213.

E=-RhcZ2/(k+n′)2

其中 k=0 相当于电子以直线轨道穿过原子的核，应除去。于是 k+n′的系列值就与玻尔公式：

E=-Rhc/n2 中的 n 一致。

由此可见，尽管椭圆轨道比圆轨道复杂，却没有引起任何附加能级。 索末菲接着又把这个问题看成是三个自由度的体系，为此他引入了

极坐标γ、θ与ψ，以核为原点，γ表矢径，θ表纬度，ψ表方位，取量子条件：

∮pr dr = n′h，∮p ϕdϕ = n1 h，∮pθ dθ = n2 h比较用γ、θ、ψ表

示的动能和用 r、ψ表示的动能，发现： k=n1+n2

由于总角动量Pψ

= kh ，垂直于轨道平面，而其在极轴上的投影为

2π

Pψ，索末菲得出：

n1=kcosα，或 cosα=n1/(n1+n2)，

其中α是 Pψ与极轴间的夹角。这一方程表示轨道平面与极轴之间的倾角存在分立性，这就是“空间量子化”。如果极轴有一确定方向，例如由于外磁场和外电场而确定了方向，则这个关系具有明确的物理意义。空间量子化是索末菲提出的一个重要概念，可以对斯塔克效应和塞曼效应提供相当满意的描述。后来，朗德(AlfredLandé)和斯梅卡尔(AdolfSmekal)甚至还用之于解释 X 射线谱，讨论氦光谱等等。及至 1922 年，斯特恩(OttoStern)和盖拉赫(WaltherGerlach)用他们的银原子束在不均匀磁场中证实了空间量子化的实际存在。

然而，空间量子化并不能解释氢光谱的精细结构。索末菲将相对论用于电子的周期运动，证明电子在有心力的作用下将作玫瑰花环形的运动，或者作近日点缓慢进动和以原子核为集点之一的椭圆运动。他用分离变量法求解哈密顿-雅可比微分方程，再用傅里叶级数展开，得到能量：

2  1 a 2Z2  n 3

Enk = −Z Rhc n2 + n4  k − 4  

如取 n=k，Z=1，就是玻尔理论的最初结果。

上式中的第二项是相对论修正，由此证明能量是 n、k 的函数，能级确是多重的。

就这样，索末菲对氢谱线的精细结构作出了理论解释。从上式可以看到，附加项与 Z4 成正比，氦光谱应比氢光谱更容易观测到精细结构。果然，1916 年帕邢报导说，他的氦谱精密测量与索末菲的预见定量相符， 相差不超过 10-3Å。

附带指出一点，帕邢的氦谱精密测量对爱因斯坦的狭义相对论也起

了间接验证的作用，因为根据阿伯拉罕的“刚性电子”理论推导出的氦谱分裂，与帕邢的观测结果根本不符。

1919 年，索末菲出版了《原子结构与光谱线》一书，系统地阐述了他的理论。1920 年他进一步对碱金属的谱线作出解释。索末菲开创的用相对论处理原子问题的方法后来又经过许多人的研究，继续有所进展， 但仍然存在许多障碍，例如光谱强度问题、反常塞曼效应问题等等，看来根本的出路在于建立一套适合于微观体系的崭新理论，靠修补是无济于事的。

在这里，要说明一个重要问题。不论是普朗克、威尔逊、石原纯还是玻尔与索末菲，他们总以∫ pdg = nh或其推广形式作为量子条件。他们的理论根据是什么？能不能给出证明？索末菲曾申明，这些条件是无

法证明的。应该说，他是正确的，因为直到 1926 年，当量子力学出现后， 才能借 WKB 法经近似展开后推导出这一关系。20 世纪 20 年代之前当然只能作为假设提出。

其实，这一量子条件的提出和推广并不是偶然的，它有深刻的物理涵义。其理论支柱就是“浸渐原理”(AdiabaticPrinciple)。