推广玻尔理论的初步尝试

在没有建立量子力学和发现电子自旋之前，所有这些努力往往是在经典力学上加某些量子条件而已，并未能根本摆脱玻尔理论所面临的困境。时至今日，某些理论已经只有历史意义，早已被量子力学代替，但是回顾旧量子论这一段发展历史，可以帮助我们认识经典物理学到量子力学的过渡，并了解至今仍在应用的某些概念的起源。

早在玻尔的原子理论出现之前，物理学家就认识到将量子假说推广到多自由度的体系的必要性。普朗克的量子假说就建立在线性谐振子的基础之上，只有一个自由度。1911 年在第一届索尔威会议上，当讨论普朗克题为《黑体辐射定律和基本作用量子假说》的报告时，彭加勒提出过这样的问题，他问普朗克处理谐振子的量子条件怎样才能用于多于一个自由度的体系。普朗克在回答中表示有信心在不久的将来做到这一 点。

果然不出 4 年，这一工作由好几个人作了出来，除了普朗克外，还

① F.Hund,The History of Quantum Theory, Bibliographisches, 德文版,1967;英文版,1973.

有著名理论家索末菲（他当时也参加了索尔威会议）以及英国的威尔逊(WilliamWilson，1875—1965)和日本的石原纯(Ishi-wara，1881— 1947)，他们有的立即用之于玻尔原子理论，有的与玻尔理论没有直接联系。索末菲则全面推广和发展了玻尔的原子理论。

普朗克一直在考虑如何将量子假说推广到多自由度，他曾在 1906 年提出相空间理论。1915 年他在德国物理学会上发表了《具有多自由度的分子的量子假说》的论文。他考虑有 f 个自由度的原子体系,用由整数规定的一组曲面 F(pk，qk)=const，把相空间分割成一些小区域，他认为定态就相当于这些曲面的 f 维交点。他也曾讨论过电子在正核的库仑场中运动的情况，但没有用于玻尔原子理论，因为他不相信分立态的基本假设。

威尔逊是英国国王学院的助教、他在 1915 年发表的论文《辐射的量子理论和线光谱》中表示希望能够用单一形式的量子理论推导出普朗克和玻尔的结果。他的方法奠基于两个假设：一是动力体系（原子）和以太的相互作用以不连续的方式发生，二是在不连续变化之间体系可用哈密顿力学描述，但需满足下式：

∫ pi dqi = ni h（i = 1、2、3、 ）

其中 ni 为正整数，积分路径遍及力学变量 pi 及 qi 的所有值。由此，威尔逊推出了普朗克的谐振子平均能量公式，接着又得到了玻尔的电子动能公式和玻尔的频率公式即巴耳末公式。

日本物理学家石原纯，早年在德国求学，曾受教于爱因斯坦和索末菲，对相对论和量子论都很有兴趣。1915 年，他回到日本任教，在《东京数学物理学报》上发表题为《作用量子的普遍意义》的论文，文中写道①：

“假设有一小块物质实体，或一组数量极大的小物体，正处于稳定的周期运动状态或正处于统计平衡，令其状态完全由坐标 q1、q2⋯qf 和相应的动量 p1、p2⋯pf 决定。在自然界中，运动往往以这样的方式发生， 即：每一状态面 qi、pi 可以以同样的几率分解成一些区域，这些区域在

相空间的某一给定点上的平均值：

1 ∞

∑p idqi = h

i=1

等于一普适常数。”

不过，由于石原纯将两个自由度用于围绕核旋转的电子的运动，他推出的巴耳末公式竟要求氢原子带两个正电荷，因而中性的氢原子该含两个电子。对此石原纯并不介意，他似乎比较赞成尼科尔松的原子理论。

① 转引自 J.Mehra,H.Rechenberg,The Historical Development of Quantum Theo-ry, vol.1, Partl, Springer- Verlag,1982 p.210.

普朗克、威尔逊和石原纯虽然都没有得到具体成果，但他们的努力对于量子论的发展起到了促进作用。