§7.2 普朗克的能量子假设

§5.4 中讲到普朗克在黑体辐射的维恩公式和瑞利公式之间寻求协调统一，找到了与实验结果符合极好的内插公式，迫使他致力于从理论上推导这一新定律。

关于这个过程，普朗克后来回忆道①： “即使这个新的辐射公式证明是绝对精确的，如果仅仅是一个侥幸

揣测出来的内插公式，它的价值也只能是有限的。因此，从 10 月 19 日提出这个公式开始，我就致力于找出这个公式的真正物理意义。这个问题使我直接去考虑熵和几率之间的关系，也就是说，把我引到了玻尔兹曼的思想。”

这里指的熵和几率的关系就是玻尔兹曼对热力学第二定律所作的统计解释。普朗克不同意统计观点，曾经跟玻尔兹曼有过论战。他认为，几率定律每一条都有例外，而热力学第二定律则普遍有效，所以他不相信这一统计解释。

但是，普朗克从热力学的普遍理论，经过几个月的紧张努力，没有能直接推出新的辐射定律。最后，只好“孤注一掷”用玻尔兹曼的统计方法来试一试。

玻尔兹曼的方法首先要求把能量分成一份一份，分给有限个数的谐振子，就象分配给单个的分子原子那样。设能量 E 划分为 P 个相等的小份额ε（能量元），即

E=Pε

这些能量元ε在 N 个谐振子中可以按不同的比例分给单个谐振子。假设有 W 种分配方案（也叫配容数），根据排列组合法则，可得：

W = (N + P − 1)!

§7.2 普朗克的能量子假设 - 图1 (N − 1)! P!

W = （N + P） ^N+P / N^N P^P （7 − 1）

配容数 W 就是几率。玻尔兹曼早在 1877 年就由分子运动论认识到熵 S 与几率的对数成正比，（参看§2.8）。将（7-1）式取对数，得：

lnW=N+Pln（N+P）-NlnN-PlnP．

因为 N 个谐振子系统的熵 SN 是单个谐振子的熵的 N 倍，即 SN=NS，单个谐振子的平均能量

U = E = Pε ，而S = klnW，

N N ^N

其中 k 称为玻尔兹曼常数，得：

 U  U U U

S = k1 +  ln1 +  − ln 



（7 - 2）

 ε   ε  ε ε 

从热力学公式 1 = dS 可求出：

T dU

1 = k   U U

ln1 +  − ln 

T ε   ε  ε 

① 赫尔曼著，周昌忠译，量子论初期史，商务印书馆，1980，p.19.

于是得：

U =

eε/ kT − 1

（7 − 3）

另一方面，与辐射公式等效的熵应为频率v的函数，即S = f  U ，

 v 

于是普朗克写道①：

“如果将维恩定律的这一公式和关于 S 的方程（7-2）一起考虑，就会发现能量元ε一定和频率成正比，即：

ε=hv 因此有：

S = 

U   U  U U 

k1 +  ln1 +  −

ln 

 hv 

hv hv

hv 

这里 h 和 k 是普适常数”。

于是，公式（7—3）就可改写为：

U = e hv/kT − 1

或能量密度u =

8πhv³

e hv /kT − 1

普朗克还根据黑体辐射的测量数据，计算出普适常数 h 值：h=6.65

×10-27 尔格·秒=6.65×10-34 焦·秒

后来人们称这个常数为普朗克常数，（它就是普朗克所谓的“作用量子”，）而把能量元称为能量子。

普朗克提出能量子假说有划时代的意义。但是，不论是普朗克本人还是他的同时代人当时对这一点都没有充分认识。在 20 世纪的最初 5 年内，普朗克的工作几乎无人问津，普朗克自己也感到不安，总想回到经典理论的体系之中，企图用连续性代替不连续性。为此，他花了许多年的精力，但最后还是证明这种企图是徒劳的。