表 16.1 单位活动的区域间资源投入模型

通常，我们把两个区域情况下的资源约束条件记为：

a N XN + a N XN + + a N XN + E N≤R N

11 1 12 2 1n n 1 1

a N XN + a N

XN + + a N XN + EN ≤RN

(16.5)

m1 1

m2 2

mn n m m

a S XS + aS XS + + a S , XS + ES ≤RS

11 1 12 2 1 n 1 1

a S XS + aS

XS + + aS

Xs + Es ≤R s

m1 1

m2 2

mn n m m

假定我们援引先例①，可以想象并设定两区间的一组仅涉及线性关系的运输活动（这种假定曾在生产活动中讲过）。如果我们再加一个约束条件：南北两区的生产经营都是非负值，即：

XN≥0， ，XN ≥0； XS≥0， ，XS ≥0 （16.6）

1 n 1 n

那就能用计算机解出两区域的一组活动规模，即，在满足方程 16.5，

16.6及16.3所表示的约束条件下，解出能使方程16.2中Z值最大的XN*,

XN*, ,

XN* ;

XS* ,

XS* , , XS*.

2 n 1 2 n

为了用简记式表示，设：

 XN

R N

E N

E N 

1

 Μ

1

 Μ

1

 Μ

1

E N =  Μ

X  XN 

R R N 

E = E N

 E N 

=  n

=  m

mm

( 2 n×1)

 XS 

( 2m×1)

 RS 

( 2m×1)  ES 

 ES 

1 1

   

   

1

  S

 

1

 Μ

 XS 

以及

 R s 

 ES 

 ES 

表 16.1 单位活动的区域间资源投入模型 - 图1

并设：

p = pN , ,

p N ;

pS , , s

(16.8)

(1× 2n)

我们的目标是： maxZ=pX （16.9） 约束条件是：aX+E≤R

X≥0

EN + ES = 0

(16.10)

作为约束条件的人均收入均等化

① ：见瓦·艾萨德：《区域分析方法》（坎布里奇，麻省理工学院出版社，1960）第十章。注

我们现在有了一个多区域线性规划分析的框架。下一步考察促使形成这一框架的一些特定目标。一个目标是区域间人均收入均等化，它的含义是什么呢？如果我们把北南两区的人口分别记作 QN 及 QS，两区收入分别是 YN 及YS，那么，人均收入均等化就是指：

YS YN

QS = QN

(16.11)

我们可以想象在本问题中人口 QN 与 QS 是事先给定的，于是方程 16.11 变为：

YS = Q

QN

YN = kYN

（16.12）

k 在这里为南区人口与北区人口的比率。例如 k 可能是 2。收入不能事前给定，它与国民生产总值有关，而在求国民生产总值最大值的过程中，我们又必须把它当作是一个变量。不过，解出 X 的一组解后，我们可以非常准确地确定收入。

先看北区的第一个行业。其产出水平为XN。对于每一单位的产出，该行业使用一定数量的劳动力，我们记劳动力为资源 l。北区行业 1 每单位产出的劳动力投入（按人工时计）为a N ，北区行业1使用的劳动力总量（按

人工时计）就可表示为a N XN 。现设pN 为北区单位劳动力的价格，即每

11 1 1

人工时的工资。那么pN a N XN 就代表北区行业1的劳动者所赚取的工资。

1 11 1

类似地，pNa N XN代表北区行业2劳动者所赚取的工资。pNaA N XN , ,

1 11 1 1 13 3

pNa N XN代表北区行业3， ，行业n的劳动者所赚取的工资。北区若

1 1n n

干行业劳动者所得的工资总额为：

YN = p Na N XN + p Na N XN + + pNa N XN = ∑p Na N XN

1 11 1 1 12 2 1 1n n

同样，可以得到南区劳动者所得工资总额 Ys：

YS = ∑pSaS XS

1 1i i

i

i 1i i

i

现在我们把方程 16.12 表示的人均收入均等化的约束条件加入我们的线性规划，则：

∑pSaS ≥k∑pNa N XN

（16.13）

i 1i

i

i 1i i

i

如果我们假定两区人口 QN、QS 相等从而使 k=1，那么（16.12）的约束条件的意义是显而易见的。计算机将解出一组新的最佳产出：

XN·· , ,

XN·· ;

S·· 1

S·· n

最优解满足原来的和新加上的约束条件。

对于日本这样的国家来说，由于区域间的收入差距不大，所以，人均收入的均等化约束条件被认为是合乎情理的和行得通的。然而对于大多数国家来说却不是这样，更加合理的约束条件应当是注重缩小现存的区域之间的人均收入的差别。例如，在某一给定的基年，最低区域的人均收入仅为最高区域的 1/6，那么，一项更为合理的规划就应该规定：任一区域的人均收入不低于其他区域的 1/5。对于一个含有两个区域的社会来说，这个约束条件就可写作：

∑pSa S XS ≥ k ∑p Na N Xn

（16.14）

i 1i i

i

5 i i 1i i

当 k=1 时，这一约束条件的意义还是极易理解的。

一旦一项约束条件被引进并产生约束力后，只要这个条件起作用并干扰原有的状态，那么，从实现目标函数里所表示的目标这个角度看，它将使系统降低效率。例如，假定目标是使国民生产总值最大化，再假定我们执行的计划不附带任何约束条件。执行的结果是北区人均收入超过南区人均收入的五倍多。那么，当要求系统在方程 16.14 的约束下运行时，我们就干扰了这一系统原先存在的有效运行。在一定的意义上，我们把系统强行纳入一定的模式，并强制性地把一些低效因素引入运行过程。其结果，可得到的最大国民生产总值（GNP）减少了。这一减少是强制约束的成本（代价）。

注意，我们已经配备了一件对中央计划社会极为重要的工具。我们能够推导出这类成本函数，这些函数表示，当我们改变不同类型的约束条件的值时，GNP 的损失（一种成本）会怎样变化。例如，假定两个区域的人口相等， 方程 16.12 中的 k 值为 1，那么就可把约束条件 16.14 改写为：

∑psas ≥ 1 ∑p Na NXN

(16.15)

1 1i

i

v i i 1i i

系数ν在这里表示人均收入最高区域（北区）的人均收入不能超过人均收入最低区域（南区）的人均收入的倍数。假定，图 16.1 中我们以横轴表示系数ν，ν连续取值 12，11，10，9，⋯，1。当我们不附加人均收入的约束条件而开始执行规划，结果将是最高的区域人均收入六倍于最低的区域人均收入。这意味着，如果将系数ν定为 6 或更高，约束条件将不会干扰系统的

运行，结果就没有损失。但是，如果我们把ν降到 6 以下，系统将被迫承担成本。例如，假使ν值定为 5，那么 GNP 的损失将是 400 万美元。在图 16.1 中，这一损失由点 E 表示，图中以纵轴的 GNP 值衡量 GNP 的损失（或称 GNP 成本）。

如果ν=4，从图中点 E′看出，GNP 损失或成本可能是 1200 万美元，如果ν=3，如 E″表示，损失或成本可能是 2300 万美元。简而言之，我们可以考虑把所有可能的ν值（0 除外）输入计算机，并得到 GNP 损失或成本的数量。我们可以描出这些结果，得到图 16.1 中的成本曲线。注意，该曲线是一种很有用的工具，它以货币价值的形式表示了所减少的国民生产总值给国家带来的损

失。它说明，虽然国内一些区域由于人均收入增加而受益，但由于约束条件的限制引起了 GNP 下降，全国的人均收入水平却降低了。收入均等化存在着一条界限，一旦超过这条界限，收入均等化就不成立，原因是，国民生产总值损失过大。事实上，如果强加上人均收入均等的约束条件，多数地区人均收入下降的情况就会出现。这时候，以下做法反倒会好些：放松约束条件，在富区征收所得税，并把其中一部分作为食品及住房补贴分配给贫困区域的穷人，把收入从一个区域转移到任何其他的区域。

现在我们已经说明了线性规划方法的一项极为有效的用途。很明显，即使象缩小人均收入差别这样一个简单的目标也会带来重大冲突。为什么人均收入最高的区域（例如南斯拉夫的克罗地亚）应该支援人均收入最低的区域

（如南斯拉夫的马其顿）？为了促进后者的发展，为什么应当对前者的资源

和地区总产值课税？高收入区域的居民可以很容易地争辩说：用这种方法转移资源是不会有效的。他们还争辩说：在他们区域投资和发展工业赢利的机会最大，在人均收入最低的区域最无利可图。这就是人均收入明显扩大的原因。他们可能这么认为：所有的发展都应当在他们高收入区域进行，人口应当移出低收入区域。他们认为这样做会使国家以及全体人民富起来。在第三章和第八章我们已经遇到过这种老观点并提出过一个问题：到底是把人口转到报酬优厚的职位上（这种职位一般存在于高收入区域），还是应该在低收入区域投资建立厂房、购置设备，把职位转让或提供给当地人？我们不想重述这场争论的孰是孰非。

我们现在可以把认识向前推进一步。假定基于道德与人道主义的原则或基督教的原因，高收入区域的人们被劝说为低收入区域的福利做一点儿贡献。他们可能被说服留出 2％的本区生产总值在低收入区域投资，并认为这个数字是一笔很慷慨的捐献。虽然这个数字可以减缓差距扩大的速度，但它不能率先阻止差距绝对数的增加，因而也不符合人均收入均等化。据此，低收入区域的政治领导人可能会坚持要求捐献超过 2％。他们希望得到的捐献可能是高收入地区 10％至 20％的生产总值。由此产生了一场重大冲突；怎样公平合理地决定高收入区域对低收入区域的捐献。一般说来，高收入区域的人们总是提出一个低指标，而低收入区域的人们总是提出高指标，这两者间的差距很大。实际上这类问题已经出现于一些国家，例如意大利的南部与北部就是这样。该国中央政府在 50 年代通过法令，特别规定了用于南部的投资基金的最低限度。这类问题同样摆在波兰、印度、南斯拉夫、日本等国家面前。讨论这个问题的不仅有政界人物，还有经济学家、区域科学家、计划工作者、律师以及许多其他社会科学家和专业人员。除了政治领导人和他们的选民在随意的、偶然的和带感情色彩的相互作用下产生的一些结果之外，解决上述冲突的适当基础过去一直没有建立起来。对于这个问题，我们可以借助于规划论以更明确的方式提出来，并获得进展。正如在讨论图 16.1 时所表明的，我们现在已能够指出为达到某一特定目标而付出的许多成本（代价） 中的一种，即，国民生产总值的损失。