第七章附录：多轮扩展和逆矩阵在应用上的等价性

如果我们使用矩阵法，而且若我们设

a11 a12 a 13 a14 

a a a a 

a = 

21 22 23 24 

a31

a41

a 32

a 42

a 33

a 43

a34 

a44 

那么，我们就可把方程式 7.1 到 7.4 改写成

X - a X = E

(4×1) (4×4)

(4×1)

（4×1）

或者说，如果我们用 Y 代替 E，并假设有 100 个经济活动部门，我们就可以把方程式 7.1 到 7.4 改写成下式

X - a X = Y

(100×1) (100×100)(100×1)

可进一步把上述方程式改写成

（1-a）X=Y

用（1-a）除，结果为

(100×1)

Y

X = 1 − a

≡(1 − a) ⁻¹Y

现在当 aij＜1，且满足其他条件，同时它们又是投入-产出系数时，上述方程式与下式等值

X=（1+a+a²+⋯+a^∞）Y=Y+aY+a²Y+⋯+a^∞Y

在上述等式的右边各项里的首项 Y 是第一轮投入需求局量。对一种既无出口又无进口的所谓的封闭型经济来说，第一轮投入需求还代表第一轮扩

展。第二项 aY 代表了第二轮投入需求（扩展）。第三项 a²Y 代表第三轮投入需求（扩展）。简言之，X 就是多轮扩展之和。

现在我们还知道计算机为我们推导的逆矩阵 A 可简化为

1

A = 1 − a

≡(1 − a) ⁻¹ ≡1 + a + a ² + a ³ + a^∞

因此运用逆矩阵和多轮扩展计算可以得到几乎相同的结果——因为在实际上，我们一般不会把逆矩阵的推算搞成无限多轮。

当第一轮扩展和第一轮投入需求不相同时，这个结果需要修正；但是基本思想依然正确无误。