另外一些代数方法，以及新城镇的各种规模和经济结构的规划

现在，回过头看新城镇的例子。在该例中，我们的经济不再是以其出口市场（世界市场）为指向——即独立的变量 E1、E2、E3 和 E4 为指向——的经济，而是以作为该城经济发展的核心推动力的研究所和药品公司的需求为指向。研究所和药品公司的需求是第一轮投入需求。其中有研究所和药品公司对农产品投入的需求，以 Y1 表示，我们设 Y1 为零，因为我们设想本城镇不会有农业部门；其中有对于本城镇食品部门产出的需求，以 Y2 表示；其中有对本城镇纺织部门产出的需求，以 Y3 表示。最后由于本城有 100 个部门，所以研究所和药品公司对相应于第 100 行的那个部门有需求，以 Y100 表示。

这样，我们就得到了本城的投入需求向量，同时它也是对本城镇经济产出的需求向量。这个向量可以用下面的列表示：

 Y1 

Y 

 2 

 Y 

 

 Y4 

 Μ 

 

(7.19)

 Y98 

Y 

99

我们称之为列向量。

 Y100 

这种向量难以处理，要写出 100 个 Y 符号并注上相应的下标既费时又占地方。因此我们要用简记法。具体地说，我们可以用下边的记法来表示 100 个带有下标的 Y 的列

[Yi]，i＝1，2，⋯，100 （7.20）

在此，i 可以代表 100 行中的任何一个部门，也就是 100 个 Y 中的任意一个。

现在，如果我们恰当地为本城经济编制一张系数表，其中每个系数 aij 都代表位于 j 列顶端的当地部门的每一单位产出从 i 行表示的当地部门得到的投入量，而同一商品投入的其余部分由进口系数来弥补，那么，我们就可以将这一组 aij，比方说是一个有 100 行和 100 列的矩阵输入计算机。我们要

求计算机给出一个象 7.14 式那样的矩阵，不过这个矩阵必须有 100 行和 100 列。那样我们就有了数据来计算每个当地部门应该达到的产出水平。例如， 第 15 个部门，即电力部门的产出将是

X15=A15,1Y1+A15,2Y2+⋯+A15，99Y99

+A15,100Y100

住户部门，即第 98 个部门的产出将是： X98=A98,1Y1+A98,2Y2+⋯+A98,99Y99

+A98,100Y100 (7.22)

如此类推。然而，我们又发现要写出全部 100 个部门的产出方程式既费时又占地方。我们需要一种简记法。进一步说，尽管我们可以不在乎做四次乘法并把乘积加起来求得由方程式 7.5 代表的不发达经济的每个部门的产出

量，然而要计算新城镇每个部门的产出，需要做 100 次乘法，并且把 100 个

乘积加总，特别是我们要做 100 次这样的运算以期得出本城经济的 100 个部门的产出，那么我们就不会不在乎了。因此，我们不仅想用一种简记法，以免写出全部数学符号，而且还想用一部计算机做全部乘法和加法，并为我们简要地打印出结果。我们想以 100 项为一列打印出这 100 个部门中的每一个部门所必须达到的产出水平。这就是说，我们要求计算机给出相应于下式的一列数字

X 

 

X 2 

X 

 ³ 

 

X 

或〔Xi 〕, i = 1

,100

(7.23)

 93 

X 99 

 

 100 

为了制定我们要求的简记式，让我们回到方程式 7.8 至 7.11。这些方程式是：

X1＝A11E1＋A12E2＋A13E3＋A14E4 X2＝A21E1＋A22E2＋A23E3＋A24E4 （7.24） X3＝A31E1＋A32E2＋A33E3＋A34E4 X4＝A41E1＋A42E2＋A43E3＋A44E4

我们已经知道[Xi]，i＝1，2，3，4 代表

X1 

 

 2 

(7.25)

X 3 

 

X ₄ 

即四个方程式左侧的符号。我们也知道[Ei]，i＝1，2，3，4，代表

E1 

 

 2 

(7.26)

E3 

 

E₄ 

这个由 E 组成的列向量中的 4 个 E，就是按同一顺序出现在上面四个方

 A 

程式中的E。我们也知道[Aij ]，i，j＝1，2，3，4或4×4代表

 

A11 ,

A ₂₁,

 A 31 ,

A12 ,

A 22 ,

A 32 ,

A13 , A 14 

A 23 , A 24 

A 33, A 34 

(7.27)

现在，让我们应用一种简单的常规方法。就是说，当我们用矩阵[Aij]， i，j＝1，2，3，4 乘列向量[Ei]，i＝1，2，3，4 时，我们就得到另一个包括 4 个项（四行）的列向量。得出的列向量的第一项是由 E 列向量中四项的每一项分别先乘矩阵第一行的四项中的相应项，然后把四项乘积相加而得到的，也就是说，先将列向量的第一项 E 乘矩阵第一行的第一项 A11，接着将列向量的第二项 E3 乘矩阵第一行的第二项 A12，再将列向量的第三项 E3 乘矩阵第一行第三项 A13，再将列向量的第四项 E4 乘矩阵第一行第四项 A14，最后把以上乘积相加。因此，所得出的列向量的第一个数字就是下式之和

A11E1+A12E2+A13E3+A14E4

要求得到的列向量的第二项，我们先将列向量 E 中的四项逐一乘矩阵第二行的四项中的相应项，然后再把四项乘积相加如下

A21E1+A22E2+A23E3+A24E4

要求得到的列向量的第三项和第四项，我们先将列向量中的 E 的四项逐一分别与矩阵第三行和第四行各自相应的四项相乘，然后把各自的四个乘积相加如下：

A31E1+A32E2+A33E3+A34E4 A41E1+A42E2+A43E3+A44E4

由此传统方法，我们得到下式

A 11 A 12 A13 A 14 

 E1 

A A A A   E 

 21 22 23 24  · 2 

A 31

A 32

A 33

A 34 

 E3 

   

A 41

A 42

A 43

A 44 

 E₄ 

A₁₁E₁ + A₁₂E ₂ + A ₁₃E₃ + A ₁₄ E₄ 

A E + A E + A E + A E 

=  21 1 22 2 23 3 24 4 

（7.28）

A 31E1 + A 32 E2 + A 33 E3 + A 34 E4 

 

A ₄₁E₁ + A ₄₂ E₂ + A ₄₃E₃ + A ₄₄E₄ 

但是按方程式 7.24，右侧括弧中第一行的四项乘积之和是 X1；第二、三、四行的四项乘积之和分别是 X2，X3，和 X4。因此，我们可以写成

 X1 

A11 A12 A 13 A14 

 E1 

X  A A A A 

E 

 2  = 

21 22 23 24  · 2 

(7.29)

 X3 

A 31

A 32

A 33

A 34 

 E3 

     

X ₄ 

A 41

A 42

A 43

A 44 

E ₄

或者采用我们的简记式，写成

[X] = [A] ·

[E]

（7.30）

4×1 4×4 4×1

或者，如果我们已明确有四个部门，就干脆简化写成

X=AE （7.31）

现在我们回过头来看曾促使我们采用这种符号的原因，也就是记录新城镇经济信息要耗费太多的时间占用太大的篇幅的问题。如果我们用新城镇研究所和药品公司综合体的投入需求向量 Y 来代替符号 E，我们就得到下式

[X] = [ A ] · [ Y ]

100×1 100×100 100×1

或简化为

X=AY （7.33）

（7.32）

对于上式，我们已经知道 X 是一个列向量，它代表顺次排列的 100 个部门应达到的产出量，在此，A 是一个由按行列排列的常数 Aij 所组成的 100× 100 的矩阵，此中每个 Aij 都是由新城镇的 100×100 的系数矩阵的 aij 经电子计算机算出的；Y 是按顺序排列的新城镇各部门的第一轮投入需求（产出的扩大）向量。

现在我们即将结束关于简记法用途的探讨，我们看到我们可以利用简记法来把有关本城镇的许多知识、想法和规划合并在一个简式 X=AY 之中。我们可以为研究所和药品公司综合体设想各种规模和组合方案。综合体的任何一个具体方案都可以看作是需求向量 Y（第一轮投入需求）。然后，我们对本城镇应有哪些部门作各种假设，并且通过成本比较和其他分析去判断它们的竞争地位。用这些假设和分析，加上工程师们就生产技术要求所提供的信息， 并参照来自普查、政府及其他行业出版物的资料，我们就可以编制一个不变系数 aij 的矩阵，比方说是一个行列为 100×100 的矩阵。然后，我们指令计算机导出另一常量矩阵，即行列为 100×100 的 Aij 矩阵，该矩阵习惯上叫“逆”矩阵。下一步就是指令计算机用逆矩阵先乘 Y 向量，使我们得到各部门必须达到产出水平的列向量①。

这项工作利用高速电子计算机几分钟内就可完成全部运算。重要的是随后进行的基本分析，（a）研究所和药品公司综合体的组成，以及（b）为本城镇系数表确定有关的 aij。在第十七章，我们要比较深入地讨论规划一个综合体所必须进行的一些思考。

特别要注意，这个方法适用于任何一种类型的新城镇规划。一个新城镇的经济基础可能不是研究所和药品公司综合体，而是一个电子和航天工业的综合体；或是一个包括大学、各种研究发展活动的综合体；或是一个适应一个农业区域的食品加工、化肥和皮革加工的综合体；或是在其仅有的优势就是其生态系统有能力以很低的社会和经济成本吸收污染物的不发达地区建立的一个石油炼制、石油化学、化肥和合成纤维的综合体。我们可以为每一个综合体设想各种不同的规模和组合。然后，对每个新城镇，我们都需要制定相应的 aij 系数，或考虑几套 aij 系数，每套系数相应于一组具体的假设。一旦我们把我们关于各种选择方案的想法和分析组织起来，我们就可以让计算机用我们要求的工业的产出列向量来表明我们的想法和分析的含义。进而沿着前面讨论过的途经来检验它们的可行性和符实性。

总之，用投入-产出（线性系统）技术来考察不发达和发达地区，以及新城镇和现存城市的各种难题有极大的优点。最后得出的估计数值仍然只是和

① ：其结果和本章“投入-产出表的用途”一节的多轮计算所得的结果相同。见本章附录。注

我们输入计算机的基本资料、假设和相互关系同样有用。但是，以后计算机就会使我们有很大的能力来考察有关任何一个区域或城市地区借以增长和发展的复杂交错的社会、经济和政治框架的想法的优劣得失，并且检验我们的规划是否符合实际和可行。