单摆

我们把秋千、吊灯等摆动物体简化成一个理想模型。在一根细线下端拴一小球，细线质量远小于小球质量，小球半径比起细线长度也可忽略不计，这样的一个理想模型，叫做单摆。图 7－49 就是单摆及其振动的示意图。

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现在来分析使单摆振动的回复力。将质量为 m 的摆球，从它的平衡位置 O 拉开一小段距离到 B 点，这时悬线和竖直方向的夹角设为α。放开后， 摆球在重力的一个分力 F＝mgsinα的作用下，将沿着一段圆弧 BC 在竖直平面里向平衡位置 O 运动。在摆角α很小(不超过 5°)时，摆球的位移 x 和圆弧长 OB 很接近，设摆长为 l，则

sinα≈ x

l

于是回复力

F = mg sin α≈mg x 。

l

因此在摆角α很小时，回复力 F 的方向可看作和位移 x 在同一直线上。对于一个给定的单摆，质量 m 和摆长 l 都是不变的，重力加速度 g 也是常数，

于是 mg 可用一个常数k来表示，且因为回复力的方向始终跟位移方向相

l

反，所以回复力 F 跟位移 x 的关系可用下式表示：

F=—kx。

可见，在摆角很小的情况下，摆球受到的回复力跟摆球对平衡位置的位移大小成正比，方向总是跟位移相反。所以这时单摆的振动是简谐振动。单摆振动的周期

单摆振动的周期与哪些因素有关呢？我们可用实验的方法来研究。 用细线穿过有孔的金属小球，把细线另一端固定悬挂起来做成一个单

摆。单摆的摆长(悬点到摆球中心的距离)约为 1 米，将摆球从平衡位置拉

开一段小于 8 厘米的距离，使摆角小于 5°。放开后，测出单摆完成 30 次

(或 50 次)全振动所用的时间，然后算出单摆每振动一次所用的时间。这样，就可以得到单摆振动的周期。

分别改变振幅的大小、摆球的质量和所用材料以及摆长，重复进行实验，其结果表明：

在摆角小于 5°的情况下， 1．单摆振动的周期与振幅大小无关；

  1. 单摆振动的周期与摆球质量大小及所用材料无关；

  2. 单摆振动的周期跟摆长有关。若将摆长从 1 米先后减小为 0.64 米、

0.25 4 1

米，则周期分别减小到原来周期的 5 和 2 。

荷兰物理学家惠更斯(1629—1695)研究了单摆的振动规律，发现单摆的振动周期跟摆长的平方根成正比，跟重力加速度的平方根成反比。 并确定了如下的单摆振动的周期公式：

T = 2π l ，

g

式中 T 是单摆的振动周期，l 是单摆的摆长，g 是重力加速度。

由于单摆的摆长和振动周期很容易测定，所以利用单摆可以方便地测定各地的重力加速度。

利用摆的等时性可以制成摆钟用以计时。实际的钟摆和荡船等都不是单摆，不能简单地应用单摆的周期公式来计算它们的振动周期，但它们的周期却还是随着摆杆长度的增大而变大的。