获得一、二、三等奖的各有多少人？

一次数学竞赛，准备了 35 支铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的同

学。原打算发给每个获一等奖的人 6 支铅笔，发给每个获二等奖的人 3 支铅

笔，发给每个获三等奖的人 2 支铅笔。后来改为发给每个获一等奖的人 13

支铅笔，发给每个获二等奖的人 4 支铅笔，发给每个获三等奖的人 1 支铅笔。那么，在这次数学竞赛中获得一、二、三等奖的各有多少人？

分析与解 由题意可以知道，这次数学竞赛获得一、二、三等奖的人数总和前后是不变的。尽管改变了发奖办法，但是奖品总数还是 35 支铅笔。

根据“后来发给每个获一等奖的人 13 支铅笔”可以得出，获一等奖的只

能是 2 人或者是 1 人，要是 3 人，那么 35 支铅笔只发给获一等奖的都不够。

假设获一等奖的是 2 人，按改变后的发奖方案，这 2 人共得到 26 支铅笔，

还剩下 35-26=9 支铅笔，发给获二、三等奖的同学。假设获二等奖的也是 2

人，每人发 4 支铅笔后还剩 9-4×2=1 支铅笔，那么这 1 支铅笔只能发给获三

等奖的 1 人。

用原来的发奖方案验算一下，获一等奖的有 2 人，要发给 12 支铅笔，获

二等奖的有 2 人，要发给 6 支铅笔，这时还剩下 35—12—6=17 支铅笔。获三

等奖的有 1 人，每人要发 2 支铅笔，这样就会剩下 15 支铅笔。显然，获一等

奖的不是 2 人，获二等奖的也不是 2 人，获三等奖的更不是 1 人了。

假设获二等奖的是 1 人，这样还剩下 9—4=5 支铅笔发给获三等奖的同

学，那么获三等奖的就是 5 人。这样按原方案发奖后还要剩下 35—6×2—3

—2×5=10 支铅笔。由此可见，获一等奖的不可能是 2 人。

既然获一等奖的不是 2 人，那么获一等奖的肯定是 1 人了。按照后来的

发奖方案发给获一等奖的 1 人 13 支铅笔后，还剩下 35-13=22 支铅笔，要发给获得二、三等奖的同学，这样可以算出获二、三等奖的人数如下表。

再用原定的发奖方案验证一下，获一等奖的有 1 人，这样还剩下35—6=29 支铅笔，要发给获得二、三等奖的同学。按照上表获得二等奖的人数，看看获得三等奖的有几人。结果如下表。

比较上面两表就可得出，获得二等奖的有 3 人，获得三等奖的有 10 人。

答：在这次数学竞赛中，获一等奖的有 1 人，获二等奖的有 3 人，获三

等奖的有 10 人。