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移除书签(二)《论物理力线》——磁力及磁场能量感生电场与变化磁场的 关系位移电流概念的提出
1862 年，麦克斯韦发表了 《论物理力线》(OnPhysicallinesof force) 这篇重要论文。他觉得要更好地体现法拉第的力线思想，仅仅从几何学方面讨论力线是不够的，还应该对已经确立的电学量和磁学量之间的关系给以物理解释，为此目的他设计了电磁作用的力学模型，试图用力学观点解释这些现象。他写道：“在这篇文章中，我的目的是研究介质中的张力和运动的某些状态的力学结果，并将它与观察到的磁和电的现象加以比较， 来澄清这方面的思考。”[4]
在论文的第一部分，应用于磁现象的分子涡旋理论中，麦克斯韦通过他所提出的分子涡旋假设讨论了磁场作用在磁极上，作用在磁感应物质上以及作用在电流上的力。
在这以前，“以太旋涡”的思想早已有了。1856 年，汤姆孙从研究光的偏振面在磁场中的旋转效应得出磁具有旋转的特征。认为可以把磁致旋光效应归结为以太振动和分子旋转运动之间的耦合，这给麦克斯韦以很大的启发，使他认识到磁是一种旋转的效应。他写道：“对于由电流引起的电离质在一定方向上的传送和由磁力引起的偏振光在—定方向上的转动这一事实的思考，导致我把磁认为是一种旋转现象。”[3]
麦克斯韦把磁旋转这一概念与法拉第的力线思想相联系。按照法拉第的力线思想，力管倾向于纵向收缩和横向膨胀。他想，如果假设每个力管所包含的流体是处在绕它的管轴的转动中，这样一种倾向就可以归因于离心力。于是他设想了一个“分子涡旋”(molecularvortex)模型，假设涡旋绕磁力线旋转，即从 S 极到 N 极沿磁力线看去，涡旋在顺时针方向旋转， 由于旋转引起的离心力使每个涡旋在横向扩张，从而纵向收缩，因而磁力线在纵向表现为张力，就象绳上的拉力一样。横向表现为压力。
图 8—3
麦克斯韦假设在场中任何一部分的所有涡旋是围绕几乎平行的轴在相同的方向上以相同的角速度转动。磁的影响是作为介质中的压力或张力形式而存在。这种压强不同于通常流体的压强，在介质中每一点在不同方向上的压强是不同的，在垂直于轴线方向上的压强是相等的，且具有最大值； 最小的压强在平行于轴线的方向上。如果设轴上的压强是 p0，在涡旋圆周
上的压强将是p = p + 1 ρv2 。ρ是涡旋物质的密度， v是每个涡旋周围
1 0 2
的线速度。p1 的方向垂直于轴线。在平行于轴线的方向上，平均压强为
p = p + 1 ρv2。因此最大压强与最小压强之差p - p = 1 ρv
。这一
2 0 4
1 2 4 2
μ
压强差就是在轴线上的张力。他用 π 代替ρ得到到下式
p - p = 1 μv (8.2.1)
1 2 4π 2
麦克斯韦认为实际应力可以分解成作用在所有方向上的简单的流体压
力p1 和沿着应力轴作用的简单张力p1 - p2 或
1 μv 2。如果涡旋轴线相对于
4π
X、Y、Z 轴的方向余弦是 l、m、n，则平行于三条轴的法向应力 pxx，pyy， pzz 和在三个坐标面上的切向应力 pyz、pzx、pxy 应为
px =
1 μv 2l2 − p p
4π y2
= 1 μv2mn 4π
pyy
= 1 μv2 m2 − p p =
4π zx
1 μv2 nl 4π
pzz =
1 μv 2n2 − p p
4π xy
= 1 μv2lm 4π
如果我们令α=vl，β=vm，γ=vn，则有
pxx
p
= 1 μα 2 − p p 4π yz
= 1 μβ2 − p p
= 1 μβγ
4π
= 1 μγα
yy
pzz =
4π 1 zx
1 μγ 2 − p p =
4π yz
4π
1 μαβ
4π
由于内部应力的改变，在体积元内将引起一个合力，麦克斯韦根据应力的平衡定律得出每单位体积在 X 轴方向的力为
X = d dx
p xx
- d p +
dy xy
d
dz p xz
代入以上数据，经计算得
X = α
1 dμα + dμβ + dμγ +
1 μ d
α 2 + β2 + γ 2
π dx
dy dz
8π dx ( )
− μβ
1 dβ − dα + αγ
1 dα − dγ − dp1 (8.2.2)
4π dx dy
4π dz dx dx
接着麦克斯韦对上式中每一项进行物理解释。他假设α、β、γ是磁
场强度，即磁场对单位北磁极的作用力在坐标轴 X、Y、Z 方向的分量，它们与涡旋周围的速度成正比。μ表示介质中任何一点的磁导率，与涡旋的密度成正比。μα、μβ、μγ表示通过垂直于 X、 Y、 Z 轴的单位面积上的磁感应强度。
通过围绕着一个磁极的闭合面的磁感应总量完全取决于闭合面内的磁物质的量。所以如果 dxdydz 是一个体积元，m 是磁极强度，即单位体积中北极磁物质的量，则有
d μα + d μβ + d μγ dxdydz = 4πmdxdydz (8.2.3)
dx dy dz
因此 X 值的第一项
α 1 d
μα +
d μβ +
d μγ
4π dx dy dx
可以写为 αm (8.2.4)
这一项的物理解释是，在 X 轴正方向推动磁北极的力是在 X 轴方向上的磁场强度和磁极强度的乘积。
然后麦克斯韦按照分子涡旋假设对磁场作用于磁极上的力进
图 8—4
行力学解释，给出了定性的物理图象。他假设有一组磁力线是从左向右的平行线。放置在磁场中的磁北极 N 向外发出力线，在 N 极的右边与原磁场方向一致， 使磁场得到加强；在 N 极的左边与原磁场方向相反，使磁场受到削弱。因此这个场的涡旋的转速在 N 极的右边将加快，在 N 极的左边将减慢。从而使 N 极右边的张力将比左边的张力大，所似磁北极将沿着场的方向被拉向右边。在同样的意义上，南极将被拉向左边。
X 值的第二项是
1 μ d 8π dx
(α 2 + β2 + γ 2 )
在这里α2+β2+γ2 是场中任意一点的磁场强度的平方，μ是同一地方的磁导率。这一项的物理意义是在 X 轴方向上磁场作用在磁感应物质上的力。对于磁导率μ是正的物体将被推向强磁场的地方。
X 值的第三项是
−μβ 1
dβ − dα
4π dx dy
在这里μβ是通过垂直于 Y 轴的单位面积上的磁感应量，即磁感应强
度在Y轴上的分量。据第一篇论文中式(5) 得到的结果，
1 dγ − dβ表示
4π dy dz
通过垂直于 X 轴的单位面积上的电流强度。如果我们令通过垂直于 X、Y、
Z 轴的电流密度分别为 p、q、r，则有
1 dγ − dβ = p
4
π dy dz
1 dα − dγ = q
4π dz dx
1 dβ − dα = r
(8.2.5)
4
π dx dy
第三项的物理解释是 Y 轴方向的磁感应强度μβ对 Z 轴方向的电流密度 r 的作用力沿 X 轴负方向。
图 8—5
麦克斯韦继续用分子涡旋假设对磁场作用在电流上的力给以力学解释。他假设一垂直于纸面的长直电流放在一垂直向上的均匀磁场中，由电流产生的磁力线使它右边的磁场加强，而使左边的磁场削弱。因此在导线右边的涡旋转速加快，给导线向左的压力加大；在导线左边，涡旋转速减慢，给导线向右的压力减小，其结果将把导线推向左边。
X 值的第四项是
+μγ
1 dα − dγ 或 + μγq
4π dz dx
这一项的物理解释是 Z 轴方向的磁感应强度μγ对 Y 轴方向的电流密度 q
的作用力沿 X 轴正方向。它与第三项一样都是指的磁场对电流的作用力。
X值的第五项 - dp1 表示这个体积元将被推向流体压力减小的方向。
dx
现在我们可以写出磁场作用在单位体积介质元上的合力的分量的表示式为
X = αm +
Y = βm +
1 μ d 8π dx
1 μ d 8π dy
v2 − μβr + μrq − dp1
v2 − μγp + μαr − dp1 (8.2.6)
Z = γm 1 μ d v2 − μαq + μβp − dp1
8π dz
dz
每个表示式中，第一项表示磁场作用在磁极上的力；第二项是作用在磁感应物质上的力；第三项和第四项是作用在电流上的力；第五项是简单的压力效应。
对于电流不存在，即 p、q、r 为零的情形，据式(5)有
dγ − dβ = 0 dα − dγ = 0 dβ − dα = 0
dy dz
dz dx
dx dy
因此有αdx + βdy + γdz = dϕ，即αdx + βdy + γdz是ϕ的全微分，所以
α = dϕ β = dϕ γ = dϕ
(8.2.7)
据式(3)有
dx dy dz
m = 1 d μα + d μβ + d μγ
4π dx dy dz
1 d 2ϕ
d 2ϕ
d 2ϕ
= 4π μ dx 2
-
dy2
-
dz2
(8.2.8)
如果在我们所考虑的空间无磁极物质，即 m=0，则
d2ϕ
dx2
d 2ϕ
+ dy2
d2 ϕ
+ dz2
= 0 (8.2.9)
在μ是均匀的而且没有电流的空间中，磁力线必定是来自于磁物质。如果设想在与我们所考虑的空间点距离 r 处有一磁极 m，则上式唯一的解是
ϕ = − m 1
μ r
单位北磁极在 r 处受到的排斥力是
dϕ = m 1
(8.2.10)
dr μ r 2
这就是磁库仑定律。
在论文的第二部分，应用于电流的分子涡旋理论中，讨论了电磁感应现象。这就要求对电流与分子涡旋的物理联系有所理解。而它又引起了另一个问题，由于相邻涡旋的表面在空间任意一点运动方向相反，这两个相邻的涡旋如何在相同的方向上自由转动呢？麦克斯韦想到在机械齿轮机构中有一种惰轮(idlewheel)，它们与两边的齿轮相互啮合，可以保证两边的齿轮在相同的方向上旋转。这个惰轮的中心是可以运动的，其中心的运动是两边齿轮周边运动之和的一半。麦克斯韦设想每个涡旋同它相邻的涡旋被一层细微的粒子隔开，这些细微的粒子起着齿轮系列中可动惰轮的作用，这些粒子远比涡旋的线度小，它们的质量与涡旋相比微不足道。由于磁体的磁力线可长期保持而不消耗，因此粒子作无滑动的滚动。粒子与涡旋的作用沿切线方向。麦克斯韦通过计算得到这些粒子的运动与电流相对应，穿过单位面积的粒子数等于流过单位面积的电量。因此，电流由这些穿插在相邻涡旋之间的粒子的移动来表示。粒子的滚动带动涡旋旋转，好象齿条带动齿轮。这就是电流产生磁力线的类比机制。
然后麦克斯韦计算了介质中涡旋运动引起的能量。他假设单位体积中涡旋的实际能量正比于密度和速度的平方，即
E = Cμ(α2 + β2 + γ 2 ) (8.2.11)
式中 C 是待确定的常数。在磁场中没有电流的情形下，据式(7)有
α = dϕ β = dϕ γ = dϕ
dx dy dz
令ϕ=ϕ1+ϕ2 据式(8)有
μ d 2ϕ d2ϕ d2ϕ
1 + 1 + 1 = m
4π dx 2 dy 2 dz2 1
μ d 2ϕ d 2ϕ d2ϕ
2 + + 2 = m2
4π dx2 dy2 dz2
ϕ1 表示磁极 m1 在空间任何点产生的势，ϕ2 是磁极 m2 产生的势。所有涡旋的实际能量是 E 式对整个空间进行积分
E=ΣCμ(α2+β2+r2)dV
通过分部积分可以证明
ϕ1E=-4πCΣ(ϕ1m1+ϕ2m2+ϕ1m2+ϕ2m1)dV 又因Σϕ1m2dV=Σϕ2m1dV
则 E=-4πCΣ(ϕ1m1+ϕ2m2+2ϕ1m2)dV (8.2.12)
现在令磁场 m1 处于静止状态，m2 通过空间δx 的距离，因为ϕ1 只取决于 m1，它仍然与以前一样，所以ϕ1m1 是常数。因为ϕ2 只取决于 m2，在 m2 的周围ϕ2
的分布仍然是相同的，所以ϕ1m1 仍然与以前一样。由于 m2 的位移
ϕ变成了ϕ
+ dϕ1 δx, 所以式中的2ϕ m
发生了改变.因此, 由于这个位移实
1 dx 1 2
际的能量变化为
δE = -4πC∑2 dϕ1 δx
dx m2 dV
在这个运动中，磁场强度dϕ1 作用在磁物质m 上作的功为
dx
δW =
2
dϕ1 x
∑ dx
m2 dVδ
根据能量守恒有δE+δW=0，即磁场对运动磁铁所作的功等于涡旋能量的减少。所以，
−4πC
2 dϕ1 δx + dϕ1
δx = 0
∑ dx m 2dV
∑
dx m2dV
由此得 C = 1 8π
(8.2.13)
所以单位体积中涡旋的能量为
1 (α 2 + β2 + γ 2 ) (8.2.14)
8π
μH 2
这就是磁场能量密度的公式 8π 。涡旋能量的变化或者来自粒子层切
向力所作的功，或者来自涡旋形状的改变。
接着，麦克斯韦根据粒子层的切向力对涡旋作的功应等于涡旋能量的改变，推导出了重要的磁场状态的改变和感生电场的关系式。
令 P、Q、R 是在坐标轴 X、Y、Z 方向上作用在单个粒子上的力。因为每个粒子的端部接触了两个涡旋，所以单个粒子对涡旋的反作用力分
别为-
1 P， -
2
1 Q， - 1
2 2
R。又因为在确定电流与粒子运动之间的夫系时，
他得到单位涡旋面上接触的粒子数为 1
2π
力为
，所以作用在涡旋单位面积上
- 1 P
4π
− 1 Q - 1
4π 4π
R (8.2.15)
现在令 dS 为涡旋的面积元，它的法线的方向余弦为 l、m、n，它的坐标是x、y，z。它在坐标轴 X、Y、Z 方向的分速度为 u、v、w。于是粒子层作用在 dS 面上的力所作的功为
dE = - 1
(Pu + Qv + Rw)dS (8.2.16)
dt 4π
让我们从第一项开始，P 可以写为
P + dP x + dP y + dP z
0 dx dy dz
u=nβ-mγ
因为涡旋表面是一个闭合面，所以
ΣldS=ΣmdS=ΣndS=0 ΣnxdS=ΣmxdS=ΣnydS=ΣmzdS=0
且 ΣmydS=ΣnzdS=V
式中 V 为该闭合面所包围的体积。由此得到
pudS = dP β − dP γV
在单位时间内对涡旋作的总功为
dz
dy
dE = − 1 ∑( Pu + Qv + Rw)dS
dt 4π
= 1 dQ dR dR
dP
dP
dQ
α
− + β
− + γ −
V
4π dz
dy dx
dz dy
dx
据式(14)，对体积为 V 的涡旋其能量为
E = 1
8π
μ(α 2 + β2 + γ 2 )V
而 dE = 1 μVα dα + β dβ + γ dγ
dt 4π dt dt dt
因为粒子对涡旋作的功应等于涡旋能量的改变，所以由此可得
α dQ − dR − μ dα + β dR − dP − μ dβ + γ dP − dQ − μ dγ = 0
dz dy dt dx dz dt dy dx dt
这个方程对α、β和γ的任何值都是成立的。
首先令β=γ=0，并用α除等式两端，然后分别令α=γ=0、α=β=0， 并相应除以β、γ，就得到一组公式
dQ − dR = μ dα
dz dy
dt
dR − dP = μ dβ (8.2.17)
dx dz
dt
dP − dQ = μ dγ
dy dx dt
从这些方程可以确定涡旋速度的改变 dα 等等和施加在粒子层上的力
dt
之间的关系。按照前面的假设，这就是磁场强度 H 的改变和感生电场 E 之间的关系。用现代的形式表示，即为
CurlE = -μ ∂H
∂ t
(8.2.18)
麦克斯韦将这一公式与他在第一篇论文中得到的磁场强度和电紧张态
之间的关系式Curla = μH相比较, 再一次得到E = - ∂α 这表明作用在粒子层
∂t
上的力就是感应电动力，也就是描述“电紧张状态”变化率的物理量。
图 8—6
接着麦克斯韦按照他的分子涡旋假设对上述关系式进行力学解释。如
图(8－6)所示，六角形空白代表涡旋，分开涡旋的小圆圈代表带电粒子。当电流从左到右通过 AB 时，AB 上面的一排涡旋 gh 按逆时针方向旋转，如果 KL 排涡旋仍然处于静止状态，则这两排涡旋之间的粒子将在顺时针方向上转动，粒子层 pq 由右到左运动，即产生与 AB 电流方向相反的感应电流。当电流稳定时，空间涡旋运动都已达到平衡，它们之间相互没有影响。如果 AB 中电流突然停止，则 gh 排涡旋将受到阻碍，而 KL 排涡旋仍然在反时针方向上快速转动，这就使 pq 层中的粒子从左向右运动，即产生与 AB 电流方向相同的感应电流。因此感应电流的现象是涡旋的转速改变时发生的作用力的一种效应。
麦克斯韦在论文的这部分还讨论了电流或磁铁运动时产生的感应现象，以及导体运动时产生的感应现象，并用分子涡旋假设对动生电动势的产生作了力学解释。
在论文的第三部分，应用于静电的分子涡旋理论中，麦克斯韦引进了“位移电流”的概念。为了计算涡旋运动从场中的一部分传到另一部分， 他假设涡旋物质具有弹性。当分子涡旋之间的粒子层受到电力而位移时， 运动粒子给涡旋切向力使之变形，而形变涡旋给该粒子以大小相等、方向相反的弹性力，当激发粒子的电力撤销时，涡旋恢复原来的形状，粒子也回复原来的位置。
麦克斯韦根据物理图象的分析，对比了在电场作用下导体内和电解质内所发生的过程。他把导体比作多孔的膜，允许电流通过。把介质比作一个流体通不过的弹性膜，能把流体的压力从一边传到另一边。他指出：“虽然电流通不过介质，但是电的效应可以通过介质传播。”他肯定在变化电场的作用下，电解质中也会有一种能够产生磁效应的特殊的“电流”。他写道：
“只要有电动力作用在导体上，它就产生一个电流⋯⋯。作用在电介质上的电动力使它的组成部分产生一种极化状态，犹如铁的颗粒在磁体的影响下的极性分布一样⋯⋯在受到感应的电介质中，可以想象每个分子中的电是这样移动的，使得一端为正，另一端为负，但是这些电仍然完全同分子联系在一起，而不从一个分子跑到另一个分子上去。这种作用对于整个电介质的影响是引起电在一定方向上的一个总位移。这一位移并不构成电流，因为当它达到某一定值时就保持不变了。不过当电位移不断变化时， 随着电位移的增大或减少，就会形成一种沿着正方向或负方向的电流。” [4]
麦克斯韦就是这样表述了位移电流的概念。所以位移电流出现在任何电场强度有变化的电介质中，传导电流与位移电流一起，保证了电流的连续性；位移电流和传导电流一样地在它的周围产生磁场。麦克斯韦按照他的分子涡旋模型，根据力的平衡条件，得出了电动力 R 与电位移 h(指的是穿过垂直于运动方向上的单位面积的电量)成正比的结论，即 Rah。
微分得dh α dR ，即位移电流与电动力随时间的变化率成正比。用现代
dt dt
∂
的形式表示i 位移 α ∂t 。
最后，麦克斯韦讨论了在涡旋物质中波的传播速度。对于密度为ρ和
切变模量为m的弹性媒质, 横波的传播速度v =
m 。他认为这一公式也适
ρ
用于具有弹性结构的涡旋物质。涡旋介质的密度ρ与介质的磁导率μ有
关, μ = πρ.m与涡旋介质的电学量有关. 经他推导得 πm是电量的电磁单
位和静电单位的比值。1856 年韦伯和柯尔劳斯(R.Kohlrausch，1809—1858)得出这一值为 3.1074×103m/s，这正是μ=1 的涡旋介质中波的传播速度。这个值与斐索(Fizeau)在 1849 年测定的光在空气中的速度 3.14858× 103m/s 符合得很好。这一惊人的结果进一步揭示了电磁现象和光现象之间的联系。麦克斯韦在论文中着重指出：“我们不可避免地推论，光是介质中起源于电磁现象的横波。”[4]
