(二)引力平方反比律的发现

牛顿(Isaac Newton，1642—1727)，1642 年 12 月 25 日的圣诞节出生于英格兰林肯郡的沃尔斯索普(Woolshorpe)村一个农户家里。12 岁那年他进入了格兰姆中学。在毕业前他获得优秀学生的荣誉。1661 年 6 月，牛顿以“减费生”身份考上著名的剑桥大学三一学院。在这里他受到“卢卡斯数学讲座第一任教授巴洛(Isaac Barrow)的引导而走向自然科学，特别是数学和光学的研究。这时他读了开普勒的《光学》和笛卡尔的《几何学》等著作。1664 年经巴洛考试被选为助手。1665 年，他获三一学院文学士学位。

就在牛顿毕业的这一年，英国发生了瘟疫。1665 年到 1667 年，牛顿在故乡躲避瘟疫的大约十八个月的时间里，进行了在力学、天文学、数学和光学方面伟大的基础性研究工作。引力的平方反比律就是在这个时候发现的。后来牛顿在谈到他在 1666 年间一系列重要发现时写道：“这一年里，

我开始想到把重力推广到月球的运行轨道上去，在求出了在内球面上一个旋转的小球对球面的压力后，我就从行星运转周期的平方同它们到太阳的平均距离的立方成正比的开普勒定律推导出：使行星保持在它们的轨道上的力必定与它们到旋转中心的距离平方成反比。而后把使月球保持在它轨道上所需要的力和地球表面的重力作了比较，发现它们近似相等。所有这一切都是在 1665 和 1666 年瘟疫流行的年代里发现的。那时我正处于发明创造的青春年代，并且比任何时候都更关心数学和哲学。”[6]

牛顿是否在 1666 年发现了引力的平方反比律，物理学史家们众说不

一。有人依据牛顿本人及其亲属朋友的回忆，认为牛顿在 1666 年发现了引力的平方反比律；有人认为这种说法依据不足。认为牛顿在这时只有验证平方反比律的“想法”，并未作任何验证。的确，这个时期牛顿没有发表任何著述，但是笔者从牛顿未发表的早期手稿中看到牛顿不仅验证了平方反比律，而且作了绝妙的论证。

牛顿在 1664—1665 年写的《未发表的记事手稿》(WasteBook)的手稿中，讨论了圆周运动的动力学，引进了“离心力”的概念，讨论了决定“离心力”大小的因素，并结合开普勒第三定律得出了离心力与半径平方成反比的定律。在公理及命题 20 中，他首次讨论了圆周运动的问题。他假设一个小球沿圆筒 def 的内表面运动，它必须持续地压在 def 上(图 1-3)。因为当小球在 c 时，它正向着 g 运动，如果 def 不再控制其运动，小球就会沿 cg 偏离中心：

图 1-3

“但是如果圆筒 def 本身对抗这种努力，使小球与 m 保持等距离，那么 def 就会从圆周 chb 每一点的切线上连续地制止或反射(Checking or reflection)小球。但是只有它们连续地相互紧压，圆筒 def 才能控制小球的运动方向。同样也可理解某物体被一根绳子束缚作圆周运动的情形。由此看来，所有作圆周运动的物体都力图脱离它们的运动中心(endeavour from the center)，否则小球就不会持续紧压 def”[6]

牛顿首次定量分析这个力的大小出现在《未发表的记事手稿》公理及命题 22 中，他推理说，在绕转半周中小球力图脱离中心的“全部力”，是大于能够产生或者破坏其运动的力的两倍，即两倍于使其运动的力：

“假设小球由 c 经h 运动至 b。那么圆筒 def 的抗力(等于小球对def 的压力)能够破坏小球从 c 向 g 运动的力，并使小球产生同样大小的，在相反方向上从 b 向 k 运动的力。”[7]

牛顿在《未发表的记事手稿》中用下述方法定量地讨论了离心力的大小。他从圆内接正方形路径开始讨论，这时一物体完成一周运动将被弹回四次，牛顿把四次碰撞的力与物体运动的力相比较，再把结果推广到了无穷多边的多边形，从而得出结论“全部的反射力与物体运动的力

之比如同全部边长(即周长)与半径之比。”其论证如下：如图 1-4 所示，球 b 绕中心 n 旋转，为了得到离心力的大小，牛顿先以正方形 abcda 路径的运动代替圆运动。在分析一次碰撞中小球在 b 处对器壁的作用力时，他写道：

“如果 ef＝fg＝gh＝he

图 1-4

＝2fa＝2fb＝2gc＝2ed，在小球从 a 运动到 b 时，2fa∶ab＝ab∶fa＝小球反射时对 fg 的压力∶小球运动的力。”

“4ab＝ab＋bc＋cd＋da∶fa＝在一周中反射的力(即在 b、c、d、a 四次反射中的力)∶小球运动的力。”

“照此推论下去，如果小球被边数为 6、8、12、100、1000 等等外切多边形的各个边反射，则全部反射的力对物体运动的力之比如同所有边的总和对这个圆的半径之比。所以如果物体被无限多边数的等边的外切多边形所反射，则全部反射的力与物体运动的力的比值如同全部边长(即周长) 对半径之比。”

对这一最后结论我们可作如下一解说。“全部反射力”指小球在旋转一周的时间 T 内小球的离心力的“冲量”，即 fT。“小球运动的力”是指小球的动量 mv。按照上述结论可得

fT = 2πR 因为T = 2πR

mv R v

由此得到f =

mv²

R

。这就是我们现在都熟悉的向心力公式，但牛顿在当时

并没有给出这个公式。

在 1665 年或 1666 年写的“仿羊皮纸手稿”(VellumManu-script)中， 牛顿含蓄地表示了他的离心力定律，他写道：“当物体以速度 v 在半径为 R 的圆周上运动时的离心力(centrifugalforce)等于作用在一个从静止开始沿一直线运动的相同的物体上的力时，在圆周上运动的物体通过距离为

R的时间内，在直线上运动的物体将通过 1 R的距离。”[8]

2

对此我们可以作下面的演算：设离心力为 F，从静止开始在直线上运

动的物体，在力F的作用下，加速度为F / m，在t＝ R 的时间内所经过的

v

距离为

1 F  R  2 1

2 m 

v  = 2 R

由此又可得

图 11

mv²

F

R

牛顿在《未发表的记事手稿》中还把离心力推广到物体作椭圆运动的情形。他说：“如果物体在椭圆上运动，它在每一点(设它在该点的运动已知) 上的离心力可以用一个在该点与椭圆相切的，具有同样曲率(Equalcrookedness)的圆求出。”

在 1669 年前的一份手稿《论圆运动》[9](OnCircularmotion)中，牛顿也讨论了离心力。他指出：“在物体由 A 到 D 作圆周运动的过程中，它

力图脱离中心的力的大小是这样的：在物体通过 AD(假定它很小)的时间内，它将使物体脱离圆周一段距离 DB。”(图 1-6)

图 1-6

因为 BE

BA

= BA

BD

在无限短的时间内，BE 和 DE 之差以及 BA 和 DA 之差无限小，用 DE 代替 BE，DA 代替 BA，由此得出

DE = DA

DA DB

如果这个力象重力一样在一条直线上作用，则使物体通过的距离将与时间的平方成正比。为了求出在绕转一周 ADEA 的时间内迫使物体通过的距离，就要求出 DB 与周长 ADEA 的关系。将上式中的 DA 用 ADEA 代替，即可得下式

DB =

ADEA ²

DE

因为周长 ADEA＝2πR，直径 DE＝2R，所以

DB＝2π2R＝19.7393R

DB 表示在周期 T 的时间内迫使物体在直线上通过的距离。接着牛顿提出一个推论：“在不同半径的圆上，运动物体的离心力正比于直径除以周期的平方。”对于这些结论我们可以作如下的计算，以 f 表示离心力的大小，m 表示物体质量，则

2π ²R = 1 f T²

由此得到亦即

2 m

4π²mR

f = T2

f∝ 2R

T2

若将T = 2πR 代入，我们又可得向心力与速率及半径的关系式

v

f∝ 2R

 2πR 2

v2 v 2

= 2π²R ∝ R

 

 

牛顿在这篇文章中接着指出：由于行星运行周期的平方同它们到太阳的距离的立方成正比，所以行星退离太阳的离心力(Theendeavours of receding from the sun)与行星到太阳的距离的平方成反比。

牛顿在这里没有叙述他的推导过程。但是有了他的离心力公式和开普勒第三定律，我们很容易从圆运动得出上述结论

即f∝ 1

R2

f∝ R

T2

R3

= T2 R2

= 1 ×常数

R 2

值得注意的是，在牛顿早期的著作中没有使用向心力这一术语。他在

《论圆运动》中所讲的物体脱离运动中心的努力，实际上指的是物体的惯性，即任何物体在没有外力作用下具有保持匀速直线运动的趋势。正如他所说的在圆筒中作旋转运动的小球，如果不受圆筒的控制，则小球将沿一条切线飞出。在 1684 年他写的《论运动》的手稿中，首次提出了向心力的定义：“我称之为的向心力是物体被吸引或迫使向某个中心点的力”。在1687 年的《自然哲学的数学原理》一书中又进行了非常明晰的讨论，并把在圆运动中物体受到的向心力和它所具有的惯性离心趋势加以区别。