(一)《论法拉第力线》——电紧张态的数学描述感生电场的提出

在大学期间，麦克斯韦就阅读了法拉第的《电学实验研究》，深深地被法拉第的电磁思想所吸引，他认识到“力线”概念的重要性，也看到法拉第定性表述方面的弱点，决心以数学手段弥补法拉第的不足，把法拉第的天才观念用清晰准确的数学形式表示出来。

1856 年 2 月，麦克斯韦的第一篇电磁学论文《论法拉第力线》(On Farday'sLinesofForce)在剑桥哲学学报上发表了。这篇文章不仅用数学形式解释了法拉第的力线图象，而且包藏着他后来一切新思想乃至麦克斯韦方程的胚胎。因此，法拉第从一开始就对它加以赞扬。在他给麦克斯韦的信中有这样一段话：“我亲爱的先生，接到你的论文，深表谢意。并不是说，我感谢你是因为你谈论了力线，而是因为我知道你已经在哲学真理的意义上处理了它。你的工作使我感到愉快，并鼓励我去作进一步的思考。但当我知道你要构造一种数学形式来针对这样的主题时，起初我几乎是吓坏了。然后我才惊讶地看到这个主题居然处理得如此之好！”[1]法拉第认为这位年青人是真正理解他的物理思想的人，并鼓励他要继续探索，有所突破。

论文一开始，麦克斯韦就环顾了电磁学研究的现状，指出已经建立了很多实验定律和数学理论，但未能揭示各种电磁现象之间的联系。他写道： “电科学的现状看来特别不便于思索。”他认为“有效的科学研究的第一步必须把已有的研究成果简化和归纳成一种思维易于领会的形式”，“寻找一些在思维发展的每一步保持清晰物理概念的研究方法”。[2]他认为“物理类比”就是这一研究方法。

麦克斯韦指出：“物理类比(physical analogy)的意思是利用

THE SCIENTIFIC PAPERS

OF

JAMES CLERK MAXWELL

M.A,LL.D. EDIN, D.C.L, F.R.SS. LONDON AND EDINBCRGB, HONORARY FELLW OF TRINITY COLLEGE,

CAVENDISH PROFESSOR OF EXPERMENTAL PHYSICS IN THE UNIVERSITY OF CAMBRIDCE

EDITED BY

W.D. NIVEN, M.A,, F.R.S.,

DIRECTOR OF STUDIES AT THE ROYAL NAVAL COLLEGE, GREENWICH; FORMERLY FELLOW OF TRINITY COLLEGE.

VOL.I. PARIS

LIBBAIBIE SCIENTIFOQCE J. HEBMANN

图 8—1

一种科学定律和另一种科学定律之间的部分类似性，用它们中的一个去说明另一个。”“类比是建立在两类定律在数学形式上相似的基础上。”[2] 类比可以构通不同领域的研究方法，可以在解析的抽象形式和假设之间提供媒介，还可以启发新的物理思想，帮助人们去认识和发现一些尚待研究的物理过程和规律。

在这方面，W·汤姆孙的研究给麦克斯韦以很大的启示。1842 年，当汤姆孙还是剑桥大学的学生时，就把包含带电导体的区域内的静电力分布与无限固体中的热流相比较，指出前一种情形下的等势面与后一种情形下的等温面相对应，前者的电荷与后者的热源相对应；与距离成平方反比的吸引力方程与均匀媒质中的均匀热流方程相对应。[3]由于热传导是通过连续媒质中相邻粒子之间的相互作用进行的，这就启发人们思索是否可以把电作用看作是经某种连续媒质传递的呢？

1846 年，汤姆孙获得了剑桥大学学位后，研究了电现象和弹性现象的类似性。他考察了处于应力状态的不可压缩弹性固体的平衡方程，指出表示弹性位移的矢量分布可与静电系统的电力分布相比拟。而且，弹性位移还可以同样好地与一个通过 B 由 Curlα=B 定义的矢量α相一致。这里α是与纽曼，韦伯等人在电流感应论文中引用的矢势(vector potential)等价。但汤姆孙是在不知道这一等同性时，经过不同途径，独立得到的。[3]麦克斯韦的《论法拉第力线》采用一种几何学的观点，为法拉第的力

线概念作出了数学描述。他在描述这些力线的构成时说：“如果我们从任意一点开始画一条线，并且当我们沿这条线走时，线上任意一点的方向， 总是和该点合力的方向重合，那么这条曲线就表示它所通过的各点的合力

的方向，在这个意义上才称为力线。用同样的方式我们可以画出其它的力线，直到曲线充满整个空间以表示任一指定点力的方向。”[2]

这篇论文可分为两部分。第一部分阐述了力线和不可压缩流体之间的类比。为了对法拉第的观念作出精密的数学处理，把这一个物理图象表示为清晰的几何图象，麦克斯韦采用了类比的思考方法。他把力线和不可压缩流体的流线加以比较，因为流体的速度方向与流线的切线方向相同且反比于流管的截面积，所以力的强度也反比于力管的截面积，这就获得了一种既表示力的强度又表示力的方向的几何模型。

麦克斯韦着重分析了不可压缩流体通过有阻力介质的运动。这个阻力取决于介质的性质，与运动方向相反，与速度大小成正比。如果用 v 表示速度大小，K 表示阻力系数，则作用在单位流体体积上的阻力为 Kv。因此， 为了保持这一速度，在流体的后一部分必须比它的前一部分保持较大的压强，这一压强差可以抵消阻力的效应。显然，压强相等的面必定垂直于流线。

考虑一个单位立方体，让流体在垂直于它的两个面的方向上流动。在这个运动方向上单位长度上的压强差为 Kv，如果长度为 h，则压强差为Kvh。在单位流管上取两个压强差为 1 的等压面，如果这两个等压面间沿流线的长度为 h，则 Kvh=1。据单位流管的定义 vS=1，由此我们得出 S=Kh。他把截面积为 S 长为 h 的单位流管称为单位元(unit cell)。在每个单位元中，在单位时间内通过单位流体体积时压强从 p 降到 p-1，因此克服阻力所消耗的功在每个单位时间，每个单位元中是一个单位。

麦克斯韦把流线的开始处称为源(Source) ，流线的终止处称为穴(Sink)。他讨论了一块中间嵌有一个单位流体元的各向同性的无限大的均匀介质，以此流体源为球心，在单位时间内从任意一个球面流出一个单

位体积的流量, 与源距离r处的速度为v = 1

4πr ²

, 因此压强的减少率Kv =

K

4πr ²

。因为在无限远处压强p = 0，所以在距离流体源为r处的压强P =

K

4πr

，显然对于一个单位穴产生的压强为 - K

4πr

，对于N个单位源产生的

压强为 KN 。

4πr

麦克斯韦把流体源产生的流线与点电荷产生的力线加以类比。因为点电荷之间的作用力与距离的平方成反比，所以点电荷产生的电场强度与流体源在流体中产生的速度相对应，从而得出：流体中的压强与静电电势相对应；流体中的压力梯度与电势梯度相对应。

麦克斯韦把流体运动的理论应用到电流的情形。设在导体环路中有一个均匀流动的电流，由于导体中电阻的存在，为了克服阻力，导体环路中必须有电动力存在。流体中的压强相应于导体环路中电的张力(electrical tension)，物理上等同于静电电势。流体中某方向的压力减少率，相应于沿该方向该点的电动力。他明确指出为了在一闭合回路中产生稳恒电流， 除了静电力外还必须有其它作用力存在，他把这个力称为环路的电动力(即现代所说的电动势)。

当不可压缩流体由一种介质进入另一种不同阻力的介质时，流动是连

续的，从一种介质中流出的流量等于在另一种介质中流入的流量。但是通过介质的界面后，两旁存在的压强是不同的，而在两种介质的边界面上法向速度是相同的，因此压强的减少率正比于阻力。如果在介质的边界面上在一个单位流管进入介质处用一个单位源代替，在一个单位流管流出处用一个单位穴代替，则介质中流体的运动将和以前一样。他用这种在边界面上引入源和穴的形式，获得了在两种介质中压强的分布。

接着，他把流体通过边界面的理论应用到电介质中，对于不同的介质， 阻力是不同的，如果这个阻力较小，就使我们获得一种类似于更容易传导力线的性质。显然，在这种情形下介质的表面上总是有一个明显的电的分布。在力线进入的地方有负电荷分布，在力线出来的地方有正电荷分布。在流体的情形下，在界面上没有真实的源，我们使用它们只是为了计算的目的。在介质内可能没有电荷存在，但是由于表面极化电荷的存在，有明显的电作用存在。

麦克斯韦在描述流线与力线时，涉及到“量”(quantity)和“强度” (intensity)的术语。他在把流体运动和电流加以类比时，着重指出区别这两个术语是很有必要的。对于流体的情形，前者表示“流量”(fluxes)， 后者表示克服阻力的“力”(forces)。对于电流的情形，电流的量指的是在单位时间内通过一个截面的电量。电流的强度指的是电动力，即克服阻力的能力(Power)。对于磁的情形，在一个磁体内任何截面上的磁化量用穿过该面的磁力线条数来表示，磁化强度取决于穿过该面的力线数和阻力。在把力学量与电学量类比的基础上，麦克斯韦对矢量场的量和强度进一步从数学上予以区分，场中的“量”，即力线的通量，可以通过面积分求出， 场中的“强度”可以通过线积分求出。

论文的第二部分主要是讨论了电磁感应现象。在第一部分的基础上， 他对法拉第的力线观念作出了精密的数学处理，确立了各电磁量之间的相互联系，建立了对于电紧张态的数学描述，提出了感生电场的概念。

首先，麦克斯韦全面地阐述了法拉第的电磁感应定律。他写道：“当导体在电流或磁铁附近运动时，或者当电流或磁铁在导体附近运动时，或者在电流强度变化或磁场强度改变时，在导体中就产生了一个电动力(electromotive forces，即现在所说的电动势)。”麦克斯韦注释：“必须把电动力与电磁力(electromagneticforces)加以区别，电磁力趋向于产生导体的运动，电动力趋向于产生电流。如果导体环路是闭合的，就有连续的电流产生；如果导体环路是开放的，在它的端部就产生电的张力(tension，即现在所说的电压)。如果在闭合导体横切磁感应线的运动中， 通过环路的力线数不变，整个环路的电动力就为零。”“无论用什么方法， 只要使得通过环路的力线数改变，环路中就有电动力产生，而感应电流所产生的磁力线总是反抗磁力线的变化。”[2]

接着麦克斯韦探讨了法拉第电紧张态的起源，阐述了法拉第把电磁感应现象与状态概念联系起来的思索过程。他写道：“导体环路内的感应电流只是由于它周围的电的或磁的现象的改变而产生的，只要这些不变，在导体中就没有任何效应产生。当导体接近电流或磁铁，以及远离它的影响时是处在不同的状态中。”他指出，法拉第关于取决于力线数改变的电动力是由于状态的改变产生的，该状态由力线数目来确定。在磁场中，一个闭合导体处在由磁作用引起的一定的状态中，只要这种状态不变，就没有

效应发生，但是当这个状态改变时，电动力就产生了，它的强度与方向取决于状态的改变。这一状态就是法拉第所说的“电紧张态”。但是这些概念和想法还没有作为数学研究的课题。麦克斯韦强调：“电紧张态是电磁场的运动性质，它具有确定的量，数学家应当把它作为一个物理真理接受下来，从它出发得出可通过实验检验的定律。”〔2〕

接着麦克斯韦讨论了电流的量与强度的关系即电流密度与电动力的关系，在定义了电流密度概念后，他引进了某一点的电动力的概念。他写道： “导体中任何一点的电流是由于作用在那个点的电动力产生的。这些电动力可能是外部的，也可能是内部的。外部的电动力或者是由于电流和磁铁的相对运动引起，或者是来自它们的强度的改变，或者是来自于其它的原因。内部的电动力是由于导体中相邻点之间的电张力之差引起的。

令 P2 表示任意点的电张力；X2、Y2、Z2 表示该点电动力在坐标轴 X、Y、Z 上的分量；α2、β2、γ2 表示该点有效电动力的分量。它们有如下的关系

α = X - dP2

2 2 dX

β = Y - dP2

(8.1.1)

2 2 dY

γ = Z - dP2

2 2 dZ

如果用 a2、b2、c2 分别表示沿坐标轴 X、Y、Z 方向上的电流密度，K2 表示均匀各向同性介质的阻力，则有

α2=K2a2，β2=K b2，γ2=K2c2 (8.1.2)

α2、β2、γ2 可以认为是坐标轴 X、Y、Z 方向上的电作用强度。沿任一线元 dσ测量出的强度由下式给出

E=lα+mβ+nγ (8.1.3)

式中 l、m、n 是这一线元的方向余弦。

对于一给定曲线积分∫ Edσ表示沿该线的总的强度。如果这曲线是闭合曲线，它就表示在这条闭合曲线中电动力的总强度°将方程(8.1.1)中的α、β、γ值代入式(8.1.3)，等式两端取积分可得

∫ Edσ = ∫ (Xdx + Ydy + Zdz) - P + C

对于闭合曲线

∫ Edσ = ∫(Xdx + Ydy + Zdz)

由此得出在一条闭合曲线内有效电动力的总强度等于从外部施加的电动力的总强度。

通过任何面电流的总量用∫edS表示，在这里e = la + mb + nc，所以

∫ edS = ∫∫ adydz + ∫∫ bdzdx + ∫∫ cdxdy

这个积分在给定的面上是有效的。当这个面是一个闭合面的时候，我们可以通过各部分的积分求出

∫ edS = ∫∫∫  da + db + dcdxdydz

如果我们令

 dx

dy dz

da + db + dc = 4πρ

(8.1.4)

dx dy dz

则 ∫ edS = 4π∫∫∫ ρdxdydz

在这里方程右边对 e 的面积分等于在这个面包围的空间内对 4πρ的体积分。在包括均匀电流情形的一大类现象中，量ρ为零。

接着麦克斯韦讨论了磁场强度和电流的量的关系。他在电张力状态理论总结定律三中写道：“绕着任一曲面边界的总磁场强度

图 8—2

量度了通过该表面的电流量。”即现在所讲的安培环路定律

∫ H·dl = ∑I

麦克斯韦认为据此定律可以求出穿过一个环路的电流量。

把上述定律应用于面积元 dy dz，设面元中心的坐标为 x、y、z，该点的磁化力强度(inten-sity of magnetizing force 即磁场强度)沿坐标轴 X、Y、Z 方向的分量为α1、β1、γ1，于是围绕这四个边测量的总的磁化力强度分别为

+β1 +

dβ₁ dz dy

- γ +

dγ 1 dy dz

 dz 2   dy 2 

-β1 −

dβ₁ dz dy

+ γ −

dγ 1 dy  dz

 dz 2   dy 2 

总的强度 =  ｄβ1 − dγ 1  dydz

 dz dy 

通过面元 dydz 传导电流的量为 a2dydz。因此如果我们用一个围绕着闭合曲线的总磁化力强度来量度电流的量，我们就有

a = dβ1 - dγ 1

dz dy

b = dγ 1 - dα1

dx dz

c = dα1 - dβ1

(8.1.5)

dy dx

因此只要我们知道磁场强度(magnetic intensities) α、β、γ的值， 我们就能求出电流的分布。我们看到通过对上述方程的微分可以得到

da2 + db 2 + dc2 = 0

dx dy dz

这就是闭合电路的连续方程。

接着麦克斯韦作了一系列论证。他证明了如果 a1、b1、c1 是磁感应量的三个分量，ρ1 是磁密度，满足

da1 + db1 + dc1 + 4πρ = 0

dx dy dz ¹

可以找到三个函数α0、β0、γ0 和第四个函数 V 使其满足

a = dβ₀ − dγ ₀ + dV

¹ dz dy dx

b = dγ 0 − dα0 + dV

(8.1.6)

¹ dx dz dy

c = dα 0 − dβ0

• dV

1

d²V

dx²

dy

d ²V

+

dy²

dx

d² V

+

Dz²

dz

+ 4πρ1 = 0 (8.1.7)

如果 a1、b1、c1 表示磁感应强度 B 的三个分量，α0、β0、γ0 就是法拉第电紧张态函数α的三个分量，据矢量分析中旋度和梯度的定义可得

B=curla+gradV (8.1.8)

当不存在磁极时，此式右边第二项可被变量的适当变换略去，可以得

到

B=curla (8.1.9)

这是与麦克斯韦在这篇论文的电紧张态的理论总结中的叙述完全等效

的。他在该总结的定律一中指出：“绕着一个面边界的整个电紧张强度等于通过那个面的磁感应量，或者换句话说，通过那个面的磁力线的数量。” 用现代的形式表示就是

∫Λ α·δλ = ∫s·Β·δΣ = φ

式中φ表示磁力线的数量。

(8.1.10)

麦克斯韦在定律五中写道：“一个闭合电流总的电磁势(即总能量)是由电流的量(即电流密度)与同方向绕该环路的电紧张强度的乘积所量度。”用现代的形式表示即为

W = ∫L j·adL

麦克斯韦在定律六中写道：“任何导体元上的电动力，无论是在大小还是在方向上由在那个元上电紧张强度的瞬时变化率来量度。这里所说的电动力就是变化磁场引起的感生电场。”用现代形式表示即为

E = - ∂a

∂t

(8.1.11)

对感生电场在一个闭合回路上进行积分就得到感生电动势。所以麦克斯韦写道：

“在一个闭合导体上的电动力(即电动势)是由绕着这个环路的整个电紧张强度对时间的变化率来量度。虽然产生的电流是随电阻而改变，但是电动力不依赖于导体的性质；而且，无论用什么方式使得电紧张强度改变， 或者是由于导体的运动，或者是由于外部环境的改变，产生的电动力都是相同的。”[2]