(三)安培的基本实验和电流元作用理论

法国物理学家安培(Andre Marie Ampe re，1775—1836)出生于里昂一个富商家庭。少年时代就表现出对数学的浓厚兴趣，12 岁时就学习微积分，随后又学习了拉格朗日的《分析力学》，他是在刻苦自学中成长的。1793 年，他的父亲在法国革命中被处死，使年轻的安培在精神上受到很大的打击。1803 年，他的夫人又病故，在坎坷的生活道路上他坚持科学研究。1809 年，他任巴黎工业大学数学教授，1814 年，被选为法国科学院院士，

1824 年担任法兰西学院实验物理学教授，1827 年被选为英国皇家学会会员。

安培在科学上极其敏锐，很善于接受新的成果。作为一个数学家他对奥斯特的新发现作出了异乎寻常的反应，他立即转向了电学研究。1820 年9 月 25 日，在阿拉果报告后的第二周，他就向法国科学院报告了关于两条平行载流导线之间相互作用的发现；证明了同向电流相互吸引，反向电流相互排斥。

安培的目的是要通过实验确立支配电磁现象的普遍规律。他所遵循的途径，象牛顿把质量分解成质量元那样，把电流分成无限多电流元，进而推导出类似质点引力公式的电流元相互作用公式。如果找到了这个关系

式，就可以通过积分得到所有电磁现象的定量结果。为了这个目的，他从1820 年 10 月开始，集中精力研究电流之间的相互作用。他设计了四个精巧的实验来探讨电流之间相互作用的性质。

实验一：安培用硬导线做成如图 6-7 所示形状的线圈，这线

图 6-7

圈由两个形状和大小相同，电流方向相反的平面回路固定连在一起， 整个犹如一个刚体。线圈的端点 A、B 通过水银槽和固定支架相连。这样， 线圈既可通入电流，又可自由转动。这种装置叫做无定向秤(astaticbalance)，它在均匀磁场(如地磁场)中不受力和力矩，随时可以平衡，但对于非均匀磁场将会作出反应。

安培用上述装置来检验图 6-8(a)所示的通有电流的对折导线对无定向秤是否有作用力，结果是否定的。从而证明当电流反向时，它产生的作用力也反向。

实验二：把对折导线的另一臂绕成螺旋线(图 6-9a)，结果也是否定的。从而证明电流元的作用具有矢量性质，即许多电流元的合作用是单个电流产生作用的矢量叠加(图 6-9b 和图 6-8b)。

图 6-8 图 6-9

实验三：他将一圆弧形导体架在水银槽上(图 6-10)，导体与一绝缘柄固连，柄架在圆心 C 处的支点上，这样既可给弧形导体通电，弧形导体又可绕圆心转动，从而构成一个只能沿自身长度方向移动，但不能作横向位移的电流元。然后用各种载流线圈对它作用，结果都不能使弧形导体沿其电流方向运动，这就证明了作用在电流元上的力是与它垂直的。

实验四：他用三个几何形状相似的线圈(图 6-11)，1 和 3 两线圈固定并串联在一起，通入电流 I1，线圈 2 可以活动，通入电流 I2。当三个线圈间距之比与三个线圈的线度之比一致时，1、3 线圈对 2 线圈的合作用为零。从而证明所有几何线度(电流元长度、相互距离)增加同一倍数时，作用力不变。[6]

1. 弧形导体 2．绝缘柄 3、4．水银槽图 6—10

图 6—11

安培的四个实验独具匠心。他不去直接测量环流之间的作用力，而是把实验建立在精确的平衡基础上。采用示零实验(“null”experiment)的方法，标志着物理实验一个明显的进步。[6]

安培设计的四个实验，每个实验都可以用来检验自己的物理思想，确定一个方面的问题。然后他把这四个实验的结果综合起来进行分析，再加上一个假设：两个电流元的相互作用力沿着它们的连线。于是便导出了电流元之间相互作用力的公式，从设想到完成仅用了不到两个月的时间。1820 年 12 月 4 日，他在法国科学院的会议上报告了电流元相互作用定律，即安

培定律。这份报告收集在 1823 年的回忆录中，下面叙述的就是安培的原始

推导。[7]

首先论证两个电流元的相互作用力正比于它们的长度。他假设把电流元分成无限多相等的部分，各个微小部分之间的相互作用几乎沿同一直线，所以这些作用力可用代数相加。因为电流强度是用作用力来定义的， 当然作用力正比于电流强度。令 i 和 i′是两个电流元的电流强度，ds 和ds′是相应的长度，当它们彼此平行且垂直于二者中点的连线并相距单位长度时，作用力正比于 ii′dsds′，两电流方向相同取正号，方向相反取负号。

图 6-12

任意放置的两个电流元的相互作用还取决于它们的相对位置。设两个线元与其中点连线的夹角为θ和θ′，线元与中点连线形成的二平面之间的夹角用ω表示，令ρ为力与角θ、θ′，ω的未知函数，假设力与两个线元距离的 n 次方成反比，n 是待定常数，于是两个电流元作用力的一般表示式为ρii′dsds′/rn 留待解决的问题是如何确定ρ与 n。

考虑两个彼此平行垂直于中点连线距离为 r 的电流元 ad 和 a′d′， 它们的作用力为 ii′dsds′/rn。假设 ad 固定不变，a′d′作平移运动且二中点距离保持不变，ω总是为零，则它们的作用力只取决于θ、θ′。按照电流方向θ与θ′或是相等，或互为补角，因此它们的作用力为 ii′ ds ds′ω(θ，θ′)/rn。当 a′d′处在 ad 延长线上 a″′d″′的时候， 令此处的ω(θ、θ′)为 K，则 ad 对 a″′d″′的作用力为 Kii′dsds′

/rn。常数 K 表示了 ad 对 a″′d″′的作用与 ad 对 a′d′作用的比率，这个比率不依赖于距离 r、电流强度 i、i′和两个线元的长度 ds、ds′。令两个电流元 Mm、 M′m′的长度分别为 ds、 ds′，其中点分别为 A、

A′，通过线元 Mm 和二中点的连线作平面 MA′m。我们用 ds 在直线 AA′上的投影 Nn=dscosθ和在 MA′m 平面内垂直于 AA′的投影 Pp=dssinθ来代替 ds。再用 ds′在直线 AA′上的投影 N′n′=ds′cosθ′和在 M′Am′ 平面内垂直 AA′的投影 P′p′=ds′sinθ′，来代替 ds′。最后我们用 P

′p′在 MA′m 平面内的投影 T′t′=ds′sinθ′cosω和 Pp′在垂直于MA′m 平面的投影 U′u′=ds′sinθ′sinω来代替 P′p′。

图 6-13

实验表明两个端点重合的直线电流元与曲线电流元对外界的作用是相同的。所以电流元 ids 对 i′ds′的作用与 idscosθ和 idssinθ对 i′ds

′cosθ′、i′ds′sinθ′cosω、i′ds′sinθ′sinω的作用一样。因为 i′ds′sinθ′sinω的中点在 MA′m 平面内而且它又垂直于 MA

′m 平面，所以它和这个平面内 idscosθ和 idssinθ没有作用力。同理， i′dscosθ和 i′ds′sinθ′之间以及 idssinθ和 i′ds′cosθ′之间没有作用力，因为设想通过直线 AA′且垂直于 MA′m 作一平面，dscosθ 和 ds′cosθ′在这个平面内而 ds′sinθ′cosω和 dssinθ在垂直于它的平面内。因此两个线元 ids 和 i′ds′之间的作用最终减少到两个联合作用，即 idssinθ和 i′ds′sinθ′cosω以及 idscosθ和 i′ds′cos θ′之间的作用。这两个作用都是沿着中点的连线。它们之和就是 ids 和i′ds′之间的相互作用。因为 idssinθ和 i′ds′sinθ′cosω是在同一

个平面且都垂直于直线 AA′，所以沿 AA′方向的作用力为

ii'dsds' sinθsinθ'cosϖ r n

而 idscosθ和 i′ds′cosθ′沿 AA′方向的作用力为

Kii' dsds'cosθ cosθ' r n

因此两个电流元 ids 和 i′ds′的相互作用力为

ii'dsds' (sinθ sin θ' cosω + K cos θ cosθ') r n

这就是 1820 年 10 月 4 日安培在法国科学院会议上公布的电流元相互作用力的公式。1833 年，他在回忆录中推导出系数 n 和 K 的关系式为：1-n- 2K=0。在考虑到拉普拉斯从毕奥-萨伐尔的实验中得到的电流元磁场公式

后，他得到n = 2，K = - 1 。Tricker根据量纲分析，式中分子具有长度的

2

二次方，同样得到上述结果。这样安培公式的最后表现形式为

F = ii' dsds'  1 

r 2 sin θ sinθ'cos ϖ − 2 cos θ cosθ'

 

Tricker 在他编写的《早期电动力学》一书的注释中证明了应用安培公式求解长直导线对电流元的作用力与由毕奥-萨伐尔定律得出的结果是一致的。[2]

求载流长直导线对平行于它的电流元的作用力。考虑任一电流元 ids 施加在 i′ds′上的力，设ω=0，力沿 PQ 线，θ=θ′，则

ii'ds'  ₂ cos² θ

dF =

sin θ −

r ² 

 ds

2 

在垂直 AB 方向上的分力为

ii' ds'  ₂

cos² θ

dF⊥ =

sin θ −

r ² 

 ds

2 

因为r = d

sinθ

和r dθ = -sinθ ds

所以 F = ii'ds' ∫π 1 − 3 cos² θ sin θdθ

⊥ d 0  2 

= ii'ds' 

cos³ θ π

d

= iids'

d

cos θ −





2  0

图 6—14 图 6—15

在平行 AB 方向上的分力为

F = ii'ds' ∫π  3 sin² θ − 1 cosθdθ

ll d

0  2

2

= ii'ds'  sin³ θ − sin θ π =

  0

 0

求载流长直导线对垂直于直导线且与直导线在同一平面内的电流元 i

′ds′的作用力。在平行于 AB 方向的分力为

F = ii'ds'

^π sin θ cosθ + 1 sin θ cos θ cosθds

ll 2 ∫  

r 0  2 

= ii'ds' ∫0 3 cos² θsinθdθ

d π 2

= ii'ds'  cos³ θ π = ii'ds'

 

 0 d

可以很容易地证明，在垂直于 AB 方向的分力 F⊥=0。

当电流元 i′ds′垂直于它的中点与直导线组成的平面时，有

ω = π ，θ' = π ，

因此

sinθsinθ’cosω-cosθcosθ’=0

所以对直导线上所有电流元对 i′ds′的全部力也是为零。以上讨论是与依据毕奥-萨伐尔定律计算的结果一致的。

1827 年，安培在《电动力学理论》一书中阐述了他处理电磁现象的方法。他说：“首先观察事实，尽可能地变换条件以精确的测量来实现这一步。目的在于推导建立在经验基础上的一般定律，在于独立于所有关于产生现象的力的性质的假说推导这些力的数学值，就是说目的在于获得表示它们的方式。这就是牛顿所走过的道路，也是对物理学作出重大贡献的法兰西知识界近来普遍遵循的途径。同样，它也在引导我把所有研究都投入到电动力学现象中去。”[8]

这里所讲的牛顿所走过的道路指的是从运动现象研究自然力的规律， 然后又以这些力的规律来解释运动现象的道路。万有引力定律的发现就是这样。关于引力的机制，牛顿认为在没有从观察和实验中发现重力之原因时，决不杜撰假设。安培遵循这条途径，从实验出发，推导出电流元相互作用的规律。

安培定律的建立奠定了电磁理论的基础。麦克斯韦对安培的工作给以高度的评价：“安培为建立电流间的作用定律而进行的实验研究在科学上是最光辉的成就，整个理论和实验似乎是从‘电学中的牛顿’的头脑中跳跃出来的，曾在那里得到全盘思考和全副武装，它们是完善的无懈可击的。

它们总结在一个公式中，所有电磁现象都可以从这个公式推导出来，这个公式将永远是电动力学的基本公式。”[8]