波与粒子的对应关系

  1. 波射线与粒子路径的一致性

1923 年 10 月 8 日，德布罗意发表了关于物质波的第三篇论文《量子、气体运动理论以及费马原理》[11] 。在这篇文章中，德布罗意更加明确地阐述了他的物质波思想。他假定与任何粒子相联系的相波，在空间任何点与粒子同相位。相波的频率与速度由粒子的能量和速度所决定。他强调这些相波特别应当具有这种性质：“相波的射线应当与动力学上粒子的可能轨迹相一致。”他声称相波的射线应当用光学上的费马原理来描述。即

δ∫ nds = 0

因为 n=λ0/λ，λ0 为光在真空中的波长，λ为光在介质中的波长，因此有

δ∫ ds = δ∫ vds = δ∫

ds = 0

λ c2 / υ

另一方面，粒子的运动轨迹可以由莫伯丢最小作用原理来描述。在空间两

点之间粒子的实际路径满足动量的变分为零，即δ∫ mυds = 0，因此有

m (βc) 2 m βc

δ∫ 0 dt = δ∫ 0 ds = 0

两者在形式上完全一致。这就表明空间两点之间粒子的实际路径，与其相波射线的实际路径是完全一致的。至此“联接几何光学和动力学两大原理的基本关系完全明朗”。[10]

德布罗意在他的博士论文第二章《莫伯丢原理和费马原理》中，引入了相对论的四维动量和相波的四维矢量，证明了这两个原理中的任一个能用来描述量子。他得出结论：“适用于相波的费马原理与适用于运动物体的莫伯丢原理是等同的；运动物体的动力学可能轨道与波的可能射线是等同的。”

  1. 群速度与粒子速度的等同性

在博士论文第一章[11] 中，德布罗意把相波的两个传播速度、相速度和群速度联系起来，并证明了波的群速度等于粒子速度。

他考虑在同一方向传播的、频率相近且速度随频率变化的两个波。其

频率分别为v和v′ = v + dv，速度为υ和υ′ = υ + dυ dv，这一速度称为

dv

相速度，即相位的传播速度。将两个波叠加，在略去了δv 的二次项的条件下可得

sin 2π vt − vx + ϕ + sin2πv' t − v' x + ϕ'

 υ 

 d v

 υ' 

= 2 cos2

δv

t − x

' sin2π vt − + ϕ

π 

 2 dv 2 

 

 υ 

式中余弦部分表示一个缓变的“振幅”，它代表合成波的整体轮廓，表示一条调制曲线，上式就是一个振幅受频率δv 调制的正弦合成波，这种调制波就称之为波包，包迹的移动速度是波包的整体移动速度，称之为群速度，用υg 表示，由上式的余弦部分可以得

d v

1  υ

=

υg dv

现在来证明相波的群速度等于运动物体的速度。如果给予运动物体一个速度 U=βc，β的值没有完全确定，但仅要求这个速度在β和β+dβ之间；相应的频率在一个很小的间隔 v 和 v+dv 之间。与该粒子运动相缔合的相波的速度υ和 v 可以看成是β的函数，因为有

υ = c

β

v = 1 0

h

相波波群的群速度可以写成

υg =

dv

dv dβ

m c 2

d v 

 υ

dβ

β

而 = 0

dβ h

v

(1 − β2 ) 3/2

d  

d    

 υ 

m c  1 − β2  m c 1

= 0 = 0

dβ h dβ h (1 − β2 )3/2

因此 υg=βc=U

相波的群速度正好等于运动物体的速度。“这个关系对理论的发展是很重要的。”

  1. 波长与粒子动量的关系

在博士论文第七章《统计力学和量子理论》中，德布罗意明确指出， 对于速度较小的非相对论气体分子，相波波长为

λ = c 2 / υ =

m c 2 / h

h m0 υ

对运动质点同样有λ = h

mυ

. 这就是著名的德布罗意波长与动量的关系式。

值得注意的是这一公式以如此明晰的形式在他的论文中出现，仅仅只有这

一次。这个式子和 E=hv 一起，后来称为爱因斯坦-德布罗意关系。