哈密顿-雅可比方程与惠更斯原理的类似性

首先，他考虑含时的哈密顿-雅可比方程

∂W (14.3.1)

∂ t

式中W是作用函数，即体系的拉格朗日函数对路径的时间积分W = ∫tc (T - V)dt，它是始点和终点位置和从始点到终点的时间 t 的函数；qk 代表位置坐标；T 是动能，是坐标和动量的函数，对动量来说是二次式，动量表示为 W 对 qk 的偏导数；V 是势能。为解这个方程，令

W=-Et+S(qk) (14.3.2)

 ∂W

2Tqk ， ∂q

 = 2（E - V）

k

(14.3.1′)

式中 E 是积分常数，即体系的能量。S(qk)是与时间无关的坐标的函数。薛定谔为了把式(14.3.1')简单地表示出来，他在位形空间中利用体系的动能引入一个非欧几里德度规。令动能 T 是速度 qk 的函数，并令线元

(ds) 2 = 2T(qk,qk)(dt)2 (14.3.3)

q 空间中“线段”的量纲不是长度，而是长度乘以质量的开方。

∂W 是作为变量进入式(14.3.1')中去的，它是矢量gradW的分量，

∂q k

于是方程(14.3.1')等价于这样一种简单的表述

(gradW)2=2(E-V) (14.3.1″)

或│gradw│ = (14.3.1'' ')

这一要求是容易剖析的，假定由式(14.3.2)所表示的函数 W 已经找到，它满足这一要求，那么这个函数在每一个确定的时刻 t 的值都可清楚地表示出来，只要把 W=常数的曲面族在 q 空间中表示出来，且其中每个曲面都有一个对应的 W 值即可。如果已经知道这一族曲面中任意的某个曲面及其 W 的值，那么方程(14.3.1''')将给出构造这一曲面族中所有其它曲面，并给出一个获得 W 值的确切的规则。

图 14-4

他考虑这一构造规则。令 W0 是图 14-4 中任一曲面的 W 值，取曲面任一侧为正方向。为了找出曲面 W0+dW0，作曲面上每一点的垂线，在 dW0 的正方向截取线段

ds = (14.3.4)

这些线段终点的轨迹就是曲面 W0+dW0，整个曲面族可按类似的方法在两侧依次构造出来。

现在让我们考虑简单的随时间变化的情况，对这种情况，式(14.3.2)

表明，在任一较迟时刻 t+t’，标明 W 分布的仍是相同的一群曲面，尽管每个曲面都有不同的 W 值，但它们都比 t 时刻的值减少 Et’。W 的值好象按一

个确定的简单的规律，从一个曲面到另一个曲面在移动着。当 E 为正时，W 向增加方向移。不过我们也可作另一种设想，即不是 W 的值在不同曲面上移动，而是每一个曲面带着它自己的 W 值在移动，连续地占据下一个曲面的位置和形状。这种移动的规律，可根据这样的事实给出：曲面 W0 在 t+dt 时刻必须运动到在t 时刻的曲面W0+Edt 所占据的位置。这规律可由(14.3.4) 式得到，只要曲面 W0 上的每个点在垂直于此曲面的正法线方向在 dt 时间内运动的距离为

ds = (14.3.5)

这就是说，曲面运动的法向速度为

u = ds = dt

当常数 E 给定时，u 只是位置的函数。

(14.3.6)

接着，薛定谔作了力学和几何光学之间的类比，指出这两者之间的类似性。他写道 W=常数的曲面族可看作是 q 空间中稳定行波的波面族，这种行波在每一点的相速度由(14.3.6)式给出。法线的构造显然可以用惠更斯子波(具有半径 ds)及其包络面的构造来取代。“折射率”正比于式(14.3.6) 的倒数，和空间位置有失，但和方向无关，所以 q 空间在光学上是非均匀的，但是是各向同性的，子波是球面波，作用函数扮演了这一波系中相位的角色，哈密顿-雅可比方程是惠更斯原理的表示式。