(四)电磁感应定律的确立

在法拉第着手通过实验确立电磁感应定律之前，他的同时代人德国物理学家纽曼(F．E．Neumann，1798—1895)在 1845 年首先从理论上导出了电磁感应定律的定量表达式。

纽曼从楞次定律，即在磁场中移动一个导体环路要克服磁力作功这个事实出发，认为如果要把一个导体环路从无限远移到磁场中某一位置，就必须作出一定的功，他把这个功称为势。感应电流仅仅取决于由于运动引起的这个势函数的变化。[9]

设一个磁分子的磁矩 dM=idS，磁分子在磁场 B 中具有的势能为

du=B·dM=iB·dS。因此对一个通有电流 i 的环路 L 在磁场 B 中具有的势能为

Ui = ∫∫s B·dS (7.4.1)

在这里 S 是环路 L 所包围的面积。如果磁场 B 是由通有电流 i＇的环路 L＇ 产生的，根据毕奥-萨伐尔定律我们有

B = i' dL'×r

(7.4.2)

∫L' r 3

r

利用 r 3

= −∇ 1及Stokes公式得r

U = ii' ∫∫ ∫

 dL'×r ·dS

i s L' 

r 3 

= ii' ∫∫ ∫ ∇ × dL'·dS

S L'  r 

= ii' ∫ ∫

dL·dL'

L L' r

我们从式(1)看到势函数等于电流 i 与由 i＇产生的磁场穿过环路 L 的力线数∫∫ B·dS的乘积，因为根据法拉第定律，通过环路L的感应电流只取决于穿过环路的力线数的改变。所以纽曼假定，当载有电流 i＇的环路 L＇运动时，在环路 L 中产生的感应电动势正比于该环路的势函数对时间的变化率，即

εα dUi

dt

εαi  ∂ ∫∫ B·dS (7.4.4)

∂t s

纽曼引入矢量函数α

α = i' ∫L'

dL' r

(7.4.5)

α是众所周知的矢势，是电流元 i＇dL＇到场点距离 r 的函数。将式(3)式

(5)代入式(4)，得由电流 i＇的改变在环流 L 中产生的感应电动势

εαi∫ ∂a ·dL

(7.4.6)

L ∂t

式(4)、式(6)联立可得

∫ ∂a ·dL =  ∂ ∫∫ B·dS

(7.4.7)

L ∂t ∂t S

上式表明穿过面积S的磁通量∫∫ B·dS可以用矢量α对包围该面积的环路L的积分∫ α·dL来表示。所以麦克斯韦认为矢势α是描述法拉第电紧张

态的物理量。可以把α的环路积分看成是导线中产生的电紧张态的量度。

纽曼据楞次定律考虑到感应电流使线圈受到的作用力与线圈在磁场中运动的方向相反，在式(4)式(6)中加上一个负号。又根据法拉第关于感应

电动势与导体性质无关的论断，同时也为了把式(6)写成等式时两边量纲相等，除去式(6)右边的 i，就给出了电磁感应定律定量表示式[10]

ε = − ∂α·dl

∂ t

= -  ∂ ∫∫

B·dS

∂t S

= - dN

dt

(7.4.8)

N = ∫∫s B·dS表示通过S面的磁力线总数，即磁通量。

1846 年，德国物理学家韦伯(W.E.Weber，1804—1890)从另一角度得出了电磁感应定律定量表达式。他从安培的电流元作用定律出发导出了两个运动电荷的相互作用力公式

ee' 

1  dr  2

r d ²r 

F_ee ' = r 2

1 − 2C²  dt 

• C2

dt ² 

(7.4.9)

式中 ee' 是库仑力，其它两项是由于e、e' 的相对速度 dr 以及相对加

r ² dt

d²r

速度 dt 2 引起的作用力。

他设电流元 i＇dL＇静止，idL 切割磁力线运动，电荷除了沿导线运动外还有随导线的运动，从而使导线受到附加的作用力。韦伯指出这个附加的作用力正是产生感应电动势的根源。经过详细计算他得出

ε = − d  I' ∫ ∫

dL' ·dL



dt 

L L ' r 

= - d ∫ a·dl (7.4.10)

dt L

与纽曼的结果相同。但韦伯的讨论只限于动生电动势。韦伯的推导过程表明动生电动势是安培公式的结果，而不是独立的新现象。这为后来动生电动势和感生电动势的区分，为揭示电磁感应现象的本质创造了条件。[10]五年后，法拉第从实验上验证了从理论上推导出的电磁感应定律的定

量表达式，证明了在磁场中运动导线产生的感应电动势只与导线横切的磁力线有关。1851 年 11 月，他在“论磁力线”，即《电学实验研究》3082 节中指出：“无论导线是垂直地还是倾斜地横切磁力线，也无论是沿某一方向或另一方向，该导线大体上以同样的精确性，把它汇总起来的这些力的量用它所横切的力线数来表示。”[11]法拉第所说的总的力的量就是导线中的感应电动势。

1852 年 3 月，他在“关于感应电流在测量磁力的应用”，即《电学实验研究》3177 节中明确提出：“我应当证明感应电流的量精确地正比于运动导线横切的磁力线数。”法拉第是在地磁场中对这一定律进行实验验证的，因为在一个小范围内，地磁场对磁针的作用力具有同样的大小和相同的方向，可以把地磁场看成是一个均匀场。[11]

因为导线在地磁场中切割磁力线时，产生的感应电流很微弱，在《电学实验研究》3123 节中，法拉第重新设计了一个灵敏度较高的电流计。如

图 7－13 所示，他用一条很粗的卷绕

图 7—13

图 7—14

的铜线来代替细的线圈，铜线的直径为 0.2 ，铜线水平地通过下面的磁针，然后在上下磁针之间通过，越过上面的磁针后，再从上下磁针之间通过，导线长达 19 ，这根导线具有很好的导电性，电流计具有很高的灵敏度。对同一感应电流磁针的偏转值要高出许多倍。[11]

从《电学实验研究》第 3192 节到 3199 节，法拉第详细地叙述了电磁感应定律的实验验证。[11]他用的运动导线是一个矩形线圈，先让线圈的平面法线与磁力线平行。然后让它绕 ab 轴转动一周，cd 和 ef 两部分将两次切割面积 cedf 内的磁力线。在转动 180°后，cd 和 ef 两部分切割磁力线的方向相反，它们将产生一个反方向的电流。所以如果头一个电流是从 d 经 ce 和 f 到 d，则第二个电流将从 d 经 fe 和 c 到 d。如果这个矩形不是闭合回路，而是在 b 点断开的开路，那么把 b 点与整流器连接，就能够输出连续的电流到电流计测量。矩形的 ce 和 df 部分在运动中不切割磁力线， 所以它们不产生任何电流。

图 7-14

在测量过程中要求线圈转动的时间在磁针(即灵敏电流计的指针)从零位置摆动到最大振幅所需的时间内。在《电学实验研究》 3104 节中说明了这一条件的必要性。如果线圈慢慢地转动，在线圈内部产生微弱的电流； 如果它较快地转动，在较短的时间内产生较强的电流。地磁对电流计磁针偏转的作用与感应电流的作用相反，它趋向于使磁针回到零位置。除了磁针摆动到最大位移的时间明显大于产生感应电流的时间外，微弱的感应电流不能使磁针的偏转值达到强电流引起的偏转值。如果磁针摆动到最大偏转值的时间是 10 秒，线圈转动 10 次的时间是 6 秒，所有感应电流的效应

都会施加到摆动的磁针上。但是如果转动 10 次的时间是 12 秒或 15 秒，则有部分感应电流对磁针摆到最大偏转角无贡献。所以要求线圈的转动时间在磁针摆到最大偏转值所需的时间内。这样在转动停止后，能够看到全部感应电流所引起的磁针的最大偏转值。一般选取线圈的转动时间为

1 1

磁针摆动到最大值所需时间的 3 到 4 。

在《电学实验研究》3197 节中，他测量了在不同转数不同转速下，每转一周电流计磁针的平均偏转值，实验结果表明它们是比较一致的，精确度接近千分之一。

在 3198 节中，他用了一个边长分别为 8 和 16 的矩形圈作实验。与磁力线相切的部分一个是短边，另一个是长边。实验结果表明，只要两个矩形的面积不变，改变矩形的位置和它与导线相切割的部分，矩形每转一周，电流计磁针的偏转值是一致的。

图 7-15

接着他又用了二个周长相同面积不同的矩形线圈与正方形线圈进行比

较。矩形线圈与上述的相同，面积为 128 平方，线圈每转一周产生的感应电流引起的磁针的平均偏转角为 2.312°。对于面积为 144 平方 的正方形线圈，每转一周磁针的平均偏转角为 2.61°。现在面积之比与角度之比非常接近，这就证明感应电流正比于运动导线在单位时间内切割的磁力线数。据前面讲的感应电动势与感应电流的关系，我们可得到如下结论： 感应电动势ε正比于穿过回路的磁力线通量的变化率，即

ε = − dN

dt

这就从实验上证明了电磁感应定律的正确性。

法拉第是位伟大的实验物理学家，他始终把实验作为检验理论与概念的试金石。他不仅在实验上作出了一系列重大发现。在理论上特别是场的概念上也作出了重大贡献。他对自然力的统一性怀有坚定的信念，为揭示自然力间的相互联系和相互转化作出了不懈的努力。法拉第把他的全身心献给了科学事业。他谢绝了重金聘请，全力投入实验研究工作。他的学生和朋友丁铎尔(J．Tyndall，1820—1893)在《作为一个发现者的法拉第》一书中写道：“这位铁匠的儿子，订书商的学徒，他的一生一方面是可以得到十五万镑的财富，一方面是完全没有报酬的学问，要在这两者之间作出选择，结果他选择了后者，终生过着穷困的日子。然而这却使英国的科学声誉比各国都高，获得接近四十年的光荣”。1851 年，法拉第被一致选举为英国皇家学会会长，但他坚决辞掉了这个职务，并说：“我希望我一直保持只有一个称号，这就是法拉第。”