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移除书签(五)球体引力问题的解决与万有引力定律的确立
在《论运动》和《论球体在液体中运动》的基础上，牛顿于 1684 年底开始了《自然哲学的数学原理》的写作。1685 年春天完成了球体引力定理， 以卓越的彻底精神和严谨的科学态度解决了求解球体引力的问题。[10]
首先，牛顿在《自然哲学的数学原理》第一篇命题 70 中，论证了均匀球面内任一粒子 p，球面对它的引力的合力为零(见图 1-13)。他通过 P 作两个圆锥面，在球面上截取两个面积元 HI 与 KL。面积元对 p 的引力与距离平方成反比，与面积大小成正比。而面积大小又与到 p 点的距离平方成正比。把这两个比相结合得一等比，即 1∶1。因此，这两部分的引力，大小相等，方向相反，互相抵消。据此可知，整个球面上的一切引力均有相反相等者与之抵消，故粒子 p 将不会被这些引力吸引到任何一个方面。
图 1-13
接着他在命题 71 中，论证了均匀球面外的一个质点被吸向球心的力与该质点到球心的距离平方成反比。
设球面外与球不同距离处的两个质点 P 和 p，通过 P 和 p 作两个小圆锥面，它们在球面上分别截取两段相等圆弧 HK、hk 和 IL、il，作垂线 SD， sd，SE，se，IR，ir，IQ，iq，如图 1-14 所示。由几何关系可得
PI∶PF=RI∶DF
和 pf∶pi=df∶ri
等式两边相乘，因为当圆锥角趋于零时，df=DF，所以
图 1-14
PI·pf∶PF·pi=RI∶ri=IH∶ih(1.5.1) 又 PI∶PS=IQ∶SE
ps∶pi=se∶iq
同理可得 PI·ps∶PS·pi=IQ∶iq(1.5.2) 式 1.5.1 和式 1.5.2 中相乘得
(PI)2·pf·ps∶(pi)2·PF·PS=HI·IQ∶ih·iq
这就是当半圆 AKB 绕直径 AB 转动时弧 IH 所画出的圆环面，与当半圆 akb 绕 ab 转动时弧 ih 所画出的圆环面之比。吸引着粒子 P 和 p 的力沿连线的方向并指向这些面。力的大小与面积大小成正比，与面积到粒子的距离平方成反比，从而得 HI 和 hi 对粒子 P 和 p 的引力之比为
pf·ps∶PF·PS
因这些斜交的力分别是它们沿PS方向指向中心S的分力的 PI
PQ
倍( 或PS 倍）以及 pi 倍(或 ps 倍），
PF pq pf
所以把粒子 P 吸向中心 S 的引力与把粒子 p 吸向中心 s 的引力之比值
为
FP = PF·pf·ps fP PS
∶ pf·PF·PS
ps
= (ps)2
(PS)2
据此理由，弧 KL 和 kl 绕转所画出的圆环面对粒子 P 和 p 的引力之比， 同样是(PS)2 与(PS)2 之比。所有圆环面的力之比具有同样的比率。因此整个球面施加在质点上的力与质点到球心距离的平方成反比。
牛顿根据前两个命题很容易地得出下面一系列推论。在命题 73 中，他证明了在密度均匀的球中，粒子受到该球的引力正比于该粒子到中心的距离。在命题 74 中牛顿证明了位于球外的一个粒子受到球的吸引力与该粒子到球心的距离平方成反比。
在命题 75 中，牛顿指出一个球受到另一个球的引力与两个球心之间的
距离平方成反比。他根据命题 74 得出均匀球对球外一个粒子全部引力，仿佛是由放在球心的一个单个粒子给于的。另方面，如果这个粒子被球上各个粒子以同样力吸引，则单个粒子对球的引力必定是与球对单个粒子的引力一样大。但是对粒子的引力是与它到球心的距离的平方成反比，因此对球的引力与两个球心之间的距离平方成反比。
在命题 76 中，牛顿进一步把质量概念引进球体引力定理。在推论 3 中他提出：在球心距离相同的条件下，两个球之间的引力正比于两个球的乘积。在推论 4 中，他提出：在球心距离不同的条件下，引力与两个球的乘积成正比而与球心之间的距离的平方成反比。牛顿在这里所说的物体的乘积就是指的物质的量或质量的乘积。牛顿在《自然哲学的数学原理》第
三篇《论宇宙系统》的命题 7 中，精辟地表述了万有引力定律：“一切物体所具有的引力正比于它们各自所包含的物质的量，与距离的平方成反比。”
如果我们用 m1 及 m2 分别表示二物体的质量，R 表示二者之间的距离， 则引力 F 为
F ∝ m1 m2 或F = G m1m 2
R2 R2
这就是万有引力定律的数学表示式，式中 G 是引力常数。
万有引力定律的发现揭示了引力的普适性。牛顿在《自然哲学的数学原理》第三篇“哲学中的推理法则”第三条中，提到引力是物体的普遍属性时写道：“如果依靠实验和天文观察，普遍发现地球周围的所有物体都被吸向地球，而且这种吸引正比于这些物体各自所含的物质之量；月球同样也按其物质之量而被地球所吸引；另一方面，我们的海洋又被月球所吸引；所有行星都相互吸引；而且彗星也以同样方式被太阳所吸引；那末， 根据这条法则，我们必须普遍承认，所有物体都天然具有相互吸引的本性。”[6]
在牛顿以前，无论是东方还是西方，天与地的区分是根深蒂固的。没有任何一项成果能说明天上运动与地上运动服从相同的规律。牛顿的引力定律体现了天上运动与地上运动的统一性，它把开普勒的行星运动和伽利略的落体与抛体运动统一了，从而把天体运动纳入到根据地面上的实验得出的力学原理之中。这是物理学史上第一次伟大的综合，也是人类认识上一次巨大的飞跃。
关于引力的机制，牛顿对此没有作过任何假设。他在《自然哲学的数学原理》最后一节中提到引力的起源时写道：“一直到现在，我已将天体现象及海洋运动用重力来说明了，但重力之来源如何，却没有说过，此项力必有一原因，贯彻至太阳及行星之中心，完全不受丝毫损失。⋯⋯我还没有方法由此项现象以推及重力之根源，我亦不想设立一假设。”牛顿认为在没有从观察和实验中发现重力之原因时，决不杜撰假设。他在《自然哲学的数学原理》第三篇哲学中的推理法则第一条中写道：“除了那些真实而已足够说明其现象者外，不必去寻求自然界事物的其它原因。”
有种说法把引力有超距作用归之于牛顿，这是没有根据的，他在《自然哲学的数学原理》书中未提此说。在缺乏实验线索的情况下，他拒绝提出一种使引力效应从一物体传到另一物体的机制，并不意味着他同意超距作用。1692 年 2 月 25 日他在写给神学家本特利(Bentley)的信中，这样写道：“在我看来，说引力是物质本身固有的，内在的和根本的，因而一物体可穿过真空距离作用于另一个物体，毋需有其它的东西作为媒介把它们的作用和力传达到另一物体上，这是甚为荒谬的，因为我相信，凡是在哲学方面有思考能力的人决不会陷入这种谬论之中。引力必然是持续不断地按一定规律施加作用的动因造成的；至于这个动因究竟是物质的抑或非物质的，我则留给读者自已去考虑。”[4]
