(三)普朗克黑体辐射定律的建立

1899 年底，普朗克得知德国实验物理学家卢梅尔和普林斯海姆等人在

1899 年 9 月发表的实验报告中指出了维恩定律仅在短波段内与实验相符，而在长波范围内则有明显的偏离。这说明维恩公式并不是一个真正符合客观实际的辐射公式，需要作进一步的修正。[11]1900 年 10 月 7 日德国实验物理学家鲁本斯(H.Rubens，1865—1922)夫妇访问了普朗克，鲁本斯告诉他在长波段，分布函数趋于一个完全不同的形式，变成正比于绝对温度 T 了。这使普朗克受到启发，他立即尝试用“内插法”去寻求新的辐射公式。他当天就得到了所要求的辐射公式。

普朗克的辐射公式是依据熵对能量二阶导数的两个极限值进行内推而

得到的，其中一个极限值对应于热辐射谱短波段，由维恩公式确定，熵对能量的二阶导数与能量成反比。对于热辐射谱的长波段，是根据鲁本斯等人的测量结果而得到。他们发现对于长波领域黑体辐射强度与温度成线性关系。普朗克在他的计算中吸收了这一实验结果，从而确定了熵对能量的二阶导数与能量的平方成反比。据瑞利-金斯公式，振子能量 U=kT，则

dS = 常量

dU d²S dU²

= 常量

U 2

(10．5)

或 R=U2×常量

于是，为了能够得到普适的情况，可以令 R 等于能量 U 的一个一次项与一个二次项之和，以便对小能量、对短波，一次项起决定作用；对大能量、对长波，二次项起决定作用。[8]由此可假定

d²S dU²

= a

U(β + U)

(10.6)

通过对上式积分可得 dS 的表示式，令它等于绝对温度的倒数，于是得

dS = α ln U = 1

dU β β + U T

于是普朗克得到振子的能量方程为

U = e−β/aT − 1

(10.7)

上式虽是关键性的，但是它并没有把主要参量频率 v 引入能量表示式中，

为了解决这一问题普朗克把公式(10.2)与维恩公式(10．1)来比较，可知 U 必须满足

所以式(10.8)的形式必须是

U = vϕ v

 T

U = c1 v

ec'v/ T − 1

则

(10.8)

c' v³

ρ(v, T) =²

ec'v/T − 1

或

c λ−5

ρ(λ,T) =¹

e c2 /λT − 1

(10.9)

(10.10)

当天晚上普朗克就把他推导出的这个辐射公式写在明信片上寄给鲁本斯。鲁本斯接到普朗克的信后，把这一公式和他的测量数据作了认真比较，发现令人满意地符合一致。两天后鲁本斯又来到普朗克家，给他带来了新的公式与实验观察完全一致的消息。[1]普朗克后来说：“以后的测量，也一而再，再而三地证实了我的辐射公式——所用的方法越精密，越能看出我的公式更为正确。”[10]1900 年 10 月 19 日在德国物理学会会议上，普

朗克作了《维恩辐射定律的改进》的报告，提出了他的这一新的辐射公式。