(一)开普勒定律的建立及引力思想的萌芽

开普勒定律描述了行星绕太阳运动的规律。它不仅使得人们有可能比较详细地进一步研究行星运动的“运动学”问题，而且还有利于研究行星运动的“动力学”问题。它为万有引力定律的建立奠定了基础。

约翰内斯·开普勒(Johannes Kepler， 1571—1630)是德国天文学家。1587 年，他进入杜宾根大学。在大学期间，他受到热心宣传哥白尼学说的天文学教授麦斯特林(Mästlin)的影响，成为日心说的忠实维护者。1591 年获文学硕士学位，后曾当路德教派牧师而学神学。1594 年，他得到大学的有力推荐，中止了神学课程，去奥地利格拉茨的路德派高级中学任数学教师并开始研究天文学。[1]

开普勒是一个深受毕达哥拉斯影响的数学家，他深信上帝是依照完美的数的原则创造世界的，他以数学的和谐性来解释哥白尼算出的行星的配置。在 1596 年发表的《宇宙的秘密》 (Myste-rium Cosmographicum)中，他把当时已知的六颗行星和从希腊时代就知道的仅有的五种正多面体联系了起来。他设想了一个模型：一个半径等于土星轨道的球内，内接一个正六面体，木星的轨道便在这个正六面体的内切球上；在木星轨道的球内，内接一个正四面体，火星的轨道便在这个正四面体的内切球上；其下依次是正十二面体，地球的轨道，正二十面体，金星的轨道，正八面体，水星的轨道。因为这种正多面体只有五种，所以开普勒相信行星只有六颗。而且各个球壳的大小和哥白尼算出的行星距离相差在 5％的范围内，这个安排全然是偶然性的和带有数学神秘性的。开普勒怀着敬意把新书寄给了布拉格的第谷，第谷看完这本书后，尽管他对书中的种种解释不太满意，但对开普勒的想象力和数学才能却很赏识，于是第谷写信给开普勒，请他到布拉格来研究天文学。[2]

第谷·布拉赫(Tycho Brahe，1546—1601)是丹麦天文学家，出生于一个贵族家庭，自幼喜欢观察星辰。1559 年进入哥本哈根大学学习法律，他的伯父希望他成为一个律师，但第谷并不热心于此。1560 年，通过一次日偏食的观察，他的注意力转向了天文学。他通过对行星在星空方位的观察和计算，发现当时的行星位置图表有严重的错误。他想要建立一个满意的行星理论，就必须有高度精确的星表，而这就需要长期进行新的准确的天文观测。1576 年，在丹麦国王腓特烈二世的资助下，他在哥本哈根海峡的汶岛上建立了一所宏大的天文台，他称之为天文堡。第谷对观测仪器进行了改进，增大了仪器的尺寸并安装在坚固的基础上，这就加强了仪器的稳定性，给仪器进行了精密的刻度，从而提高了仪器的精密度。第谷还按照大气对光线的折射效应对观察结果进行修正。他年复一年的观测，取得了

大量关于行星位置的准确记录资料。在 21 年的观测中，各行星的角位置误差仅有 2′，即 0.033°。1597 年，他离开汶岛，1599 年到布拉格任鲁道夫二世的御前天文学家。[3]

1600 年，开普勒接受第谷的邀请来到布拉格。在这里两位天文学上的巨人相会了。在第谷的安排下，开普勒觐见了国王，接受了“皇家数学家” 的头衔。开普勒和他的老师有不同的特色和兴趣：第谷着重并善于实际观察，而开普勒则更醉心于数学和理论思考。第谷的精确观察与开普勒的深刻研究相结合得到了丰硕的成果，第谷多年精心观测得到的宝贵资料，为开普勒发现行星运动三定律奠定了基础。1601 年，重病的第谷把开普勒请到床边，作了临终的嘱托。第谷说：“我一生之中，都是以观察星辰为工作，我要得到一种准确的星表⋯⋯现在我希望你能继续我的工作。我把底稿都交给你，你把我的观察的结果出版出来，题名为《鲁道夫天文表》，我们至少要有一点报答鲁道夫国王。”在开普勒允承以后，第谷就安然与世长辞了。开普勒精心整理并千方百计筹集资金，经过多年的努力，直到1627 年才正式出版了这本有史以来最精确的天文表。[3]

第谷逝世以后，开普勒把大部分时间用于对火星的研究上。他试图使观察得到的准确的火星轨道新数据符合作匀速圆周运动的哥白尼体系。尽管他在计算中用了偏心等距点，经过二十多次不同方案的试验，历时四年的计算结果是：用哥白尼体系计算出的轨道比根据新数据计算出的轨道小八分。开普勒知道，第谷明察秋毫的慧眼和颇为精密的仪器记录的行星位置，其误差是远小于八分的。于是他敏锐地觉察到火星可能不是作匀速圆周运动。[3]

怎样确定火星的轨道呢？由于第谷对火星的观察资料是从运动着的地球上观察得出的，所以必须先弄清楚地球轨道的真实形状及它们的运行方式，以便确定在观察火星的日子里地球在什么地方，然后才可能利用这些数据来确定火星的运动。为此他充分利用每组火星年的观测数据，并用几何作图法确定地球轨道的形状，然后，又确定火星轨道的形状，他终于发现火星轨道是一个椭圆，进而又发现每个行星都沿着椭圆轨道运行，太阳就在这些椭圆轨道的一个焦点上，这就是开普勒的第一定律即著名的轨道定律。这个发现把哥白尼学说向前推进了一大步。用开普勒本人的话说： “就凭八分的差异，引起了天文学的全部革新。”[2]

在确定了行星轨道的形状后，开普勒又去寻求行星在轨道上的速率与位置之间的关系。他从观察火星的资料中发现火星距太阳近时运动得快，而在距太阳远时运动得慢。他试图从物理学上解释这一现象，设想太阳可能以某种力驱使行星沿轨道运行，这种力只作用在行星的轨道平面上，因而轨道上各点受太阳作用力的大小与离太阳的距离成反比；所以，按当时流行的动力学原则，行星运动的速率与这个距离成反比。这样，一颗行星沿它的轨道走过一小段距离所用的时间，应该同它到太阳的距离成正比。这是近似正确的。于是开普勒提出可把行星轨道上较长一段弓形分成一段段小圆孤，然后把各小圆弧到太阳的距离相加，用以计算行星沿其轨道走过较长一段弓形所用的时间。他假定每小段圆弧长为 2 个单位长，则这些距离的总和在数值上就等于太阳和行星联线所扫过的面积，从而得到行星到太阳联线扫过的面积与所经历的时间成正比的结论。[4]

开普勒实际上只计算出地球和火星这两颗行星在近日点和远日点时，

在相同的时间内其径矢扫过的面积相等。然而由于这种关系如此美妙和简单，致使他坚信这个关系无论对于哪个行星和在轨道的哪一部分都是真实的，这就是所谓的面积定律，即行星的径矢在相等的时间内扫过相等的面积。虽然开普勒在推导这个定律时所使用的假定是错误的，但这个定律却是正确的。它不仅准确地描述了围绕太阳的任何行星的运动，也适用于围绕任何行星的卫星的运动[5]。

图 1-1 开普勒假定，当行星沿其轨道运动时，所有从太阳到行星的联线的长度之和 SP1+SP2+⋯SP，在数值上近似等于 SP1PN 的面积之和。

图 1-2 开普勒面积定律

1609 年，开普勒在《新天文学》(NewAstron-omy)一书中发表了上述两个定律。但是他对自己获得的成就并不满意。他认为各个行星都沿椭圆轨道，以匀面积速度运行不是偶然的，必有某种更普遍的规律联系着太阳系的所有行星的运动；只有发现各个行星运动之间存在着统一的关系，才可以建立一个太阳系的整体模型，从而揭示出宇宙的谐和与一致。开普勒怀着这种信念，长年累月地考察了许多因素的各种可能的组合，终于在 10 年之后发现了这条规律。 1619 年，开普勒在《世界的谐和》(TheHarmonicesoftheworld)一书中公布了这一定律：行星公转周期的平方同它们到太阳的平均距离的立方成正比。如果以 T 代表行星运行周期，以R 代表行星到太阳的平均距离，则这个定律可以表示为

R3 = K

式中 K 是一常数。这个定律被称为谐和定律，它表明各个行星的运动速度和轨道大小之间很有节奏的比例关系，就象音乐中的和声一样。事实上，开普勒在《世界的谐和》中正是用乐谱的形式把六颗行星在远日点和近日点之间角速度的变化情况表征为一首“行星协奏曲”。[2]

开普勒坚信自然界存在着一条简单的法则，这是来自他早年对数学的迷恋。他承袭了古希腊毕达哥拉斯学派“数是实在世界的基础”的思想，深信上帝是依照完美的数的原则创造世界的，并认为根本性的数学谐和即所谓天体的音乐，乃是行星运动的真实的可以发现的原因。正是这种追求数学谐和的理想，对自然的单纯性和一致性的信念，使他克服了前进道路上的各种障碍，忍受着生活的不幸，在艰苦漫长而又毫无结果的工作期间能从这一泉源中得到精神鼓舞，以致在他最后发现这一定律时欣喜地写道：

“经过长时期不断的艰苦工作后，利用布拉赫的观测结果我发现了轨道的真正距离，最后终于找到了真实的关系⋯⋯一下子消除了我心中的疑团，17 年来我对布拉赫观测结果的刻苦研究同我现在的这个研究是如此相符，以致我起初还以为是在做梦⋯⋯。”[4]

在开普勒全面解决了行星运动的运动学问题之后，关于行星运动的动力学方面的问题就自然提出来了。“为什么行星会保持在轨道上？”“为什么行星这样运动呢？”开普勒在研究行星运动的规律时，就已经注意到

这个问题。他认为这种运动一定是由于力的作用而产生的。他在《宇宙的秘密》第二版中说：

“我一度坚信驱动一颗行星的力是一个精灵⋯⋯然而当我想到这个动力随距离的增大而不断减小，正如太阳光随着与太阳的距离增大而不断减弱的时候，我得出了下面的结论：这种力必定是实在的——我说实在的并不是按字面的意义，而是⋯⋯象我们说光是实在的某种东西一样，意思是说：那是从一实体发出的一种非实在的存在(unsubstantial entity)。” [4]

在英国人吉尔伯特(W．Gilbert，1540—1603)关于磁力的论文发表不久，开普勒在 1605 年给一个朋友的信中写道：“我的目的在于证明：天上的机械不是一种神圣的、有生命的东西，而是一种象钟表那样的机械，正如一座钟的所有运动都是由一个简单的摆锤造成的那样，几乎所有的多重运动都是由一个最简单的，磁力的和物质的动力造成的。我也要证明，何以应当用数字和几何来表达这些物理原因。”[4]开普勒设想发自太阳的磁力驱使行星沿其轨道运动。这一设想虽然是错误的，但是开普勒把可观察的实验现象作为出发点，从事实本身去寻求运动原因，这标志着近代物理学的主要特征之一的开端。

法国杰出的数学家和哲学家笛卡尔(Rene Descartes，1596—1650)通过对于“行星保持在轨道上运动的原因”的探索，发表了他的“旋涡说”，被当时很多人所接受，牛顿也是在这种理论的影响下成长起来的，因为当时在英国的大学里都讲授这个理论。旋涡说的理论是：宇宙空间充满一种稀薄的不可见的流质“以太”，各个聚集体周围的以太围绕聚集体形成大小、速度和密度不同的旋涡式运动，它产生的旋涡压力卷吸着周围的物体趋向中心物体，这就表现为引力作用。行星以其旋涡带着它周围的附属物沿着更巨大的旋涡围绕太阳旋转。笛卡尔的学说由于是从接触作用来说明引力的本质，因此比超距作用更易被理解和接受。[2]

1645 年，法国天文学家布里阿德(I．Bulliadus)提出一个假设：从太阳发出的力，应和离太阳距离的平方成反比而减小。这是第一次提出平方反比关系的思想。牛顿正是在布里阿德思想的启示下产生了论证平方反比力的想法。