(三)物质波理论的应用 1．玻尔量子化条件的物理解释[8]

德布罗意在他的第一篇物质波论文中，把他的相波概念应用到以闭合轨道绕核运动的电子，从而推出了玻尔的量子化条件，这是德布罗意波能够成立的一个有力证据。德布罗意假定在 t= 0 时刻，电子位于 O 点，并以速度 v=βc 运动。它所缔合的波也在 O 点并以速度 c/β沿电子轨道运行。假定在 t 时刻波与电子再次重合在 O′点。设电子的运动周期为 T，由于电子与波的速度不同，则二者重合必须满足下式

c2

t υ = υ(t + T)

或 t =

β T 1− β²

因此在从 O 点到 O′点时，电子内在运动的相位变化为

m c ² Tβ²

2πv t = 2π ⁰

1 h

德布罗意认为如果电子轨道是稳定的，那么经过 O′点的波必须在相位上与电子保持一致，也就是说与电子缔合的波必须在电子轨道上形成驻波， 于是就有

m c² Tβ

2π ⁰ = 2πn (n为整数) h

m β²c ²

或 ⁰ T = nh

这一条件与玻尔-索末菲(Bohr-Sommerfeld)条件

T

(p x dx + p y dy + pz dz) = nh完全一致。

T

因为 ∫0 (p x dx + p y dy + pz dz)

= ∫ m 0

(υ ² + υ² + υ² )dt =

m β²c ²

T

0

= nh

设电子的角速度为ω。在半径为 R 的圆轨道上绕核旋转，则在电子速度相当小的情形下，可再次得到玻尔的角动量量子化条件

mωR² = n h

2π

他在第三篇物质波论文中提出“只有满足相波谐振的那条轨道才是稳

v

定的轨道”。电子的轨道是由 υ 对闭合路径的积分取整数值来确定，在

博士论文第三章《轨道稳定性的量子条件》中写出下式

vdl = n

υ

谐振的条件是 l=nλ，即电子轨道的周长是相波波长的整数倍。

1. 麦克斯韦分布的证明[10]

在第三篇物质波论文中，德布罗意把相波假设应用于气体系统，用他的统计平衡的新概念证明了麦克斯韦分布。他认为气体原子象电子一样也具有波粒二象性。每一具有速度βc 的原子可以视之与一波包相联系，这

1 m c²

一波包的相速度υ = c / β, 频率为 ⁰ ，群速度u = βc。除非所有与原

h

子对应的波构成驻波系统，气体的状态不可能是稳定的。他采用金斯的计算方法，得出在单位体积内，在 v 到 v+dv 的频率间隔内连续的驻波数为

n dv = 4π v²dv = 4π βv²dv

^v uυ² c ³

气体原子的频率 v 和动能 W 的关系式由下式确定

m c²

hv = ⁰ = W − m c² = m c ² (1+ a)

0 0

式中α= W/m0c2。将以上联立可得

n dv = 4π m²c(1 + a)

a(a + 2)dW

v h3 0

这是在单位体积内，在 W 到 W+dW 间隔内的驻波数。因为每个波可以传输一个、二个或若干个原子，与这些原子相应的能量为 hv ，2hv⋯nhv。按玻耳兹曼分布，每个波传输的能量为 hv 的原子数为

∑ne

1

−nhv kT

∞ nhv

∑e kT

1

所以在体积元中，动能在 W 到 W+ dW 间隔内能量为 hv 的原子数为

dnw = c 4π m²c(1 + a) h3 0

a(a + 2)dWdxdydz

∑ ne

− nhv kT

× 1

∞ nhv

∑e kT

1

式中 c 为常量。对于质量较大因而速度较小的原子所构成的气体，上述级数中除第一项以外，其它各项可以忽略不计，即有 1+α=1，则动能在 W 到 W+ dW 内的原子数为

dnw = c

4π m h3 0

3/2

• w

kT Wdxdydz

这就得到了麦克斯韦分子按动能分布的规律。