(五)含时的薛定谔方程的提出

既然如此，在微观领域中，对于必须用波动来表示的情形，我们现在应遵循哪一条途径来描述力学问题呢？薛定谔明确指出不能从力学基本方程出发，而必须从 q 空间中的波动方程出发，他指出波函数必须满足普遍的波动方程

∇ ²ψ - 1

u2

ψ"= 0 (14.5.1)

因此，由式(14.3.6)、(14.3.10)、(14.3.11)可得

∇ ²ϕ + 8π2

h2

(hv - V)ϕ (14.5.1')

或 ∇²ϕ +

8π²

h2

(Ε − ς)ϕ = 0

(14.5.1∀)

η2 2

写成现在形式 − 8π2 μ ∇ ϕ + ςϕ = Eϕ

这个方程和第一篇论文中的结果是一致的。

(14.5.1' '' )

最后，薛定谔作出结论再一次阐述了量子化就是本征值问题的含义。他写道：“关于把方程(14.5.1)作为原子力学的基础所表现出来的担忧， 我不想明确地断定它不需有进一步的附加限制。但是它们也许不再象以前‘量子条件’那样，具有完全奇怪的和不可理解的性质，而是成为我们所

熟悉的在含有偏微分方程的物理问题中寻找初条件或边值条件的问题，它们决不和量子条件类似——因为在我迄今所已经研究的经典动力学的全部情况中，证明方程(14.5.1)本身内部蕴藏着量子条件。在某些情况下，以及在实验所确实要求的地方，除了十分明显的要求，即作为一个物理量， 函数ψ在整个位形空间中必须单值、有限和连续外，方程(14.5.1)不需要任何进一步假定，可以自行分辨出某种频率或能级，这种频率或能级在定态过程中是唯一可能的。”他强调指出：“量子能级可立即由方程(14.5.1)本身所具有的固有边界条件所决定的本征值来确定。”

文章的后一部分，薛定谔把他的理论应用到线性谐振子、定轴转子、绕自由转轴的刚性转子以及非刚性的振动转子(双原子分子)上，举了一系列实例进行分析。

1926 年 5 月，薛定谔发表了论文《量子化是本征值问题》(第三部分)， 阐述了与时间无关的微扰论。第一次提出波动力学(wavemechanics)一词。

1926 年 6 月，薛定谔发表了论文《量子化是本征值问题》(第四部分)[9]，阐述了含时的微扰论。他认为不含时的方程(14.5.1)不具有普遍性。确切地说不能把它称为波动方程，而把它称为振动方程或振幅方程更恰当些。他认识到在方程(14.5.1)中的本征值 E 在从一个稳定状态到另一个稳定状态的过程中是变化的，但这一变化情况没有出现在上述的波动方程中。为了体现这一变化情况，他把ψ函数中反映空间分布的空间因子和反映时间分布的时间因子分开，使

ψ=ψ(q)exp[2πi(E/h)t]

对时间求导得 ∂ϕ

∂t

= 2πiE = ψ

h

所以Eψ = h ∂ϕ

2πi ∂t

代入方程(14.5.1'')就得

− η2

8π²m

∇² ϕ + ςϕ = η ∂ϕ

2πι ∂ t

(14.5.2)

这就是含时的薛定谔方程。