哈密顿-雅可比理论的启示[2]

最早试图揭开光的本性的神秘面纱，把牛顿的粒子说和惠更斯的波动说统一起来的人是哈密顿(W.R.Hamilton1805—1865)，他想使光学成为具有像拉格朗日所赋予力学那样的“审美性、权威性与和谐性”的一门正规科学，并通过寻求同时支配光的传播和粒子运动的一种单一的自然规律来达到这点。借助于他的作用函数 S=∫Ldt(式中拉格朗日函数 L=T-U，T 为质点系的动能，U 为势能。)，他发现在一个力场中质点的运动与光射线的传播，受同一形式的规律所支配。根据哈密顿的变分原理，对于真

实运动来讲作用函数的变分为零，即 δ∫ Ldt = 0。在能量为常数时，可

以导出莫伯丢(Maupertu)的最小作用原理，这个动力学的古老的变分原理

δ∫ 2Tdt = 0

或 δ∫ [2m(E − U)]^1/2 ds = 0

而几何光学的费马(Fermat)最小时间原理，这一几何光学的基础为

δ n ds = 0 c

即在光线的实际路程上光程的变分等于零。把以上二式加以比较，我们看

到在力学中的表示式[2m(E - U)]2 与光学中的相速度u = c / n起着相同的

作用，可以用符号表示为

c 1

u = ↔ [2m(E − U)]2 n

这一关系称为“哈密顿的光学力学类比”。然而，这一类比还可以进一步

加以推广。作用函数 ∫

Ldt在位形空间（configura - tion space）确定了

∂S

一个“作用面”（actionsurface）。众所周知，p = ∇S，而且 ∂t = -E(E

是力学体系的总能量 E=T+U)。另一方面对平面单色波，波矢 k 和频率

ω = 2πv与相位ϕ = -ωt + k·r具有如下关系k = ∇ϕ，及 ∂ϕ

∂t

= -ω。因此，

在传播中粒子系统的常量作用面完全类似于光学中的同相位面。波失相应于动量，而频率相应于粒子的能量。这些结果是哈密顿在 1828 年到 1837 年发表的。

哈密顿-雅可比理论给了德布罗意很大的启发。40 年后他在追忆波粒二象性思想是如何产生时说：“突然间，我萌发了把光的二象性推广到物质粒子，尤其是电子的想法。我不能给出确切的日子，但一定是在 1923 年夏天。我认识到，一方面，哈密顿在某种程度上指出了这点，因为它能适用于粒子，同时又表示一种几何光学；另方面，在量子现象中得到的量子数很少在力学中被找到，但却常常出现在波动现象以及与波动运动有关的所有问题中。于是，我自信有一种与量子现象相联系的波。”[4]

布里渊的驻波[7]

早在 1913 年，玻尔就提出了原子中电子运动的量子化条件。成功地解释了氢原子光谱等许多当时物理学不能解决的问题。但是玻尔关于电子绕

核运动的角动量等于 h

2π

的整数倍是人为规定的. 没有理论基础, 不能使人

信服。因此，许多人都构造了各种各样的理论来导出玻尔这一量子化条件。法国的布里渊(M.Bri-llouin)在 1919—1922 年发表了一系列文章，提出了一个解释玻尔量子化条件的理论。布里渊设想原子核周围存在着一层以太。电子就在该以太层中运动，这运动在以太层内掀起波，这些波相互干涉而在原子核周围形成环形驻波。布里渊认为这一情况可以作为对玻尔神秘的量子化条件的一种物理解释。布里渊是第一个把电子与波作为一个整体研究的人，但他借助于当时已被物理学家抛弃的以太介质，使得物理学家难于接受。布里渊曾把自己的上述工作告诉了德布罗意，从而使后者认真地把光的二象性假说同对玻尔模型的研究结合在一起考虑，并把布里渊尊称为“波动力学的真正先驱”。布里渊的儿子证实了这一点：“德布罗意采用了我父亲 1919—1922 年间提出的一些相当不成熟的想法。”但是德布罗意抛弃了以太的错误看法。把属于以太的周期性运动给了电子本身，实现了向波粒二象性思想的过渡。