三、纵向思维能力的培养

纵向思维反映为思维的深刻性，表现在学生善于把所学知识进行抽象、概括、引申、推广，理解问题深刻透彻，逻辑性强，能够解决较难问题。要培养这些思维能力，对某一知识的延长与拓宽是行之有效的。

例如我在讲完因式分解中的十字相乘法后，对学生提出两个问题： ax²+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2），其中 a1a2=a，c1c2=c，a1c2+a2c1＝b.

问题 1.a、b、c 除是数字外，还可以是整式吗？x 可以是整式吗？ 例 3.y³+（2b+1）y²+（b²+2b-1） y+b²-1

=（y+1）b²+（2y²+2y）b+（y³+y²-y-1）

=（y+1）b²+2y（y+1）b+（y+1）²（y-1）

=（y+1）[b²+2yb+（y+1）（y-1）]

=（y+1）[b+（y+1）][b+（y-1）]

=（y+1）（y+b+1）（y+b-1）. 例 4.（m²+3m+2）（m²+7m+12）-3

=（m+1）（m+2）（m+3）（m+4）-3

=（m²+5m+4）（m²+5m+6）-3

=（m²+5m）²+10（m²+5m）+21

=（m²+5m+3）（m²+5m+7）.

启发学生完成两例后，学生很快答出 a、b、c 及 x 都可以是整式，并发现可化为关于某一字母的二次三项式的多项式的因式分解都可考虑用十字相乘法。

问题 2.十字相乘法一定适用于“二次三项式”吗？一般多项式怎样？ 例 5.

x⁵+x³-x²-1

=x⁵+（x³-x²）-1

=（x³-1）（x²+1）

=（x-1）（x²+x+1）（x²+1） 例 6.

1-x⁴+4x³-4x²

=（1-x⁴）+4x³-4x²

=[（1+x²-2x][（1-x²）+2x]

=（1-x）²（1-x²+2x）. 例 7.

a⁴+a³+a²b+ab²+b³-b⁴

=（a⁴+a³）+（a²b+ab²）+（b³-b⁴）

=（a²+b²）[（a²+a）+（b-b²）]

=（a²+b²）[（a²-b²）+（a+b）]

=（a²+b²）（a+b）（a-b+1）.

引导学生完成上述三例后，学生容易归纳出：一般多项式化为三项式： A+B+C，当 A1A2=A，C1C2=C 且 A1C2+A2C1=B 时，则 A+B+C=（A1+C1）（A2+C2），

这样十字相乘法就适用于所有的多项式。

上述知识的延伸与拓宽，锻炼了学生运用集中思维与分析思维的能力， 融技能、技巧于一法之中，在极富兴趣的解题当中，培养了学生思维的深刻性及创造性。

如上所述，精选例题及习题，培养学生思维的三向能力，提高综合运用知识的水平，是搞好解题教学的有效途径。