一、运用联想，培养思维的广阔性

教学中教师要选择典型的题目，鼓励学生在广阔的范围内寻求解法，从而培养思维的广阔性。

例1，在△ABC中，AB=2 2，AC=

则有（ ）

2，BC=2，设P为BC上任一点，

（A）PA²＜PB· PC；（B）PA²=PB·PC；（C）PA²＞PB·PC；（D）PA2 与 PB·PC 的大小关系不确定。

（1990 年全国联赛试题）

分析，此题可联想到用余弦定理来解，也可考虑建立坐标系结合两点间距离公式来解，还可利用三角形边角关系结合最大值来解。

解法一：在△ABC 中，由余弦定理可求得：

COSB = 5 2

8

在△PAB 中，PA²=AB²+PB²-2PB·AB·COSB

= 8 + PB² - 2PB·2 2·

=PB²-5PB+8，

∴PA²-PB·PC=PB²-5PB+8-PB（2-PB）

= 2PB² - 7PB + 8 = 2（PB - 7 ） ² + 15 ＞0.故选（C）。

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解法二：以 B 为原点，BC 在 x 轴的正半轴上，建立如图所示的直角坐标系。则点 C 的坐标为（2，0），设 A（x1，y1），P（x，0），则由两点间距离公式可得：

(2 2 )² = x² + y²

 1 1

( 2 2 = (x − 2) ² + y² )，

x

解之得：

y

= 5

2

= 7 ，

 1 2

∴PA² − PB·PC = (x − 5 )² + (

2

7 ) − x(2 − x)

2

= 2x ² − 7x + 8 = 2(x − 7) ² + 15 ＞0．故选(C)。

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解法三：由三边之长可知，∠C为钝角，从而PA＞AC= 2，∴PA2＞2．

又∵PB+PC=2，故知当 PB=PC=1 时，PB·PC 有最大值 1，即 PB·PC≤1， 即 PB·PC≤1，

∴PA²＞PB·PC.故选（C）。

通过一题多解，沟通了各种知识的内在联系。同时学生也学会了从不同角度去观察思考问题，灵活地运用所学知识去解决问题。