四、教学过程

复习导入

出示小黑板：

（1）图1 DE∥BC ⇒ △ ∽△

AC2 =

= = =

（2）图2

∠ACB = Rt∠

⇒ BC2 =  

CD⊥AB

 CD2 =  

（生上台完成，师生同纠正。同时师作出（1）图中 AN⊥BC 于 N，AN⊥ DE 于 M，由学生补充（1）中第四个比，以其巩固相似三角形“对应边之比（相似比）等于对应高之比”这一性质。以（2）巩固射影定理，同时强调其逆定理不成立。）

四、教学过程 - 图1

师：相似三角形除以上性质外，还有没有性质？生：对应角相等；对应中线比、对应角平分线比、周长比都等于相似比；面积比等于相似比的平方。

师：很好！我们花了不少时间学习相似三角形的性质，在实际生活中有

没有用？如何用？这正是我们即将探讨的问题（板书课题）。

（这一问使学生心思“跳出”了半封闭的教室而进入纷繁复杂的现实生活，课堂活跃，议论纷纷。这样有意造成学生悬念，引发学生思考，无疑有益于激发学生探索问题的积极性。）

（二）引入实际，解决新知

师：我们先来做一个实验：求甲、乙两人的距离。（两名学生上台，生乙站着不动，生甲手握刻度尺正面平视对准生乙，刻度尺与生乙人体正面平行，手臂与刻度尺垂直。）

第一步：生甲用一只眼观察生乙左臂边缘，使其视线经过直尺的一端。第二步：生甲用同一只眼观察生乙右臂边缘，同时记下视线经过刻度尺

上的读数。（记下读数：10cm）

第三步：测量生乙人体正面宽度及生甲手臂的长度（记下读数：48cm， 55cm）

（测量中允许产生误差，尽量力求准确。）

师：通过上述实例，大家想一想：生甲的两条视线、手臂长、刻度尺、生乙的人体正面，能否构想出一个几何平面图形呢？在纸上画一画。

生：能。

（学生画，师巡视。培养学生的空间想象能力以及将已知条件图形化的良好习惯，同时培养学生亲自操作的能力。将实际问题转化归结为数学问题。）

师：出示小黑板：你们所构想的图是否与此图形相似呢？

四、教学过程 - 图2

生：相似（肯定）。

师：好极了，那么在上述实例中，两位同学测量的数据各对应于图形中的哪一条线段？

各等于多少？他们之间的距离呢？

生：刻度尺上的读数 CD 的长，即 CD＝10cm 生甲手臂长 OE 的长，即 OE=55cm

生乙正面人体宽度 AB 的长，即 AB=48cm 他们之间的距离 OF 的长，OF 为所求。

师：回答完全正确，且还给我们找到了已知，所求，那如何求 OF 呢？ 生：（迟疑）。

师：（进一步启发），现在让我们共同来分析一下：在此图中已知什么？ 求什么？

生：已知：CD∥AB，线段 CD、OE、AB 的长，求 OF 的长。师：已知和未知分别落在哪些三角形中？

生：△COD，△AOB。

师：好！这两个三角形有何关系？为什么？ 生：相似，因为 CD∥AB。

师：相似了会得到什么？

生：比例式，即： CD = OE

AB OF

师：得到这个比例式是运用了什么性质？

生：相似三角形对应边之比等于对应高之比。师：很好！现在能根据此式计算 OF 吗？

生：能（生马上动手求解。）

（一名学生上台完成解题全过程，其余学生独自完成，师巡视。在这样的比例中，只要知道三条线段长，就可求第四条，引发学生回顾比例性质， 即比例式、乘积式互换。）

生：

OF

解 CD∥AB ⇒ △COD∽△AOB ⇒ OE

即： OF = 48

= AB

CD

55 10

∴OF＝264（cm）

答：甲、乙两生的距离为 264cm。师生共同小结本题求解思路：

  1. 从已知 AB、CD、OE 和所求 OF 出发，寻找一对三角形，即△COD，

△AOB。

  1. 证△COD∽△AOB。

  2. 利用相似三角形的性质获得含OF的比例式： OF

OE

= AB 再运用比

CD

例性质推出所求。

师：上述过程同学们完成得很不错！要是还有兴趣的话不妨再来探求一个问题。现有一张三角形纸片（出示教具）。让前一排的学生测量出此三角形纸片一边及一边上的高的长，并记下数据，我现在将三角形纸片对应在黑板上的平面图形画出来，记为△ABC，且 BC=120mm，DA=80mm。）同学们在这样大的纸片上能剪下一个正方形吗？

四、教学过程 - 图3

生：能，（只是大小不一）。

师：我敢肯定地说你们完成这个任务是不成问题的。可是我要作一定的规定：所剪正方形的一边要落在 BC 上，其余两个顶点分别落在 AB、AC 上。这样一来，我们还能吗？

生：（先迟疑，后议论。）

师：（加以启发），要能剪下来的话，恐怕得先算出所剪正方形的边长？ 我们先假设按如图所示的线路剪下来（补作正方形 PQMN），现在大家想一想， 是不是也可以运用相似三角形来解决呢？我们不妨试一试，先看已知什么？ 存在于何三角形中？求什么？

生：已知 BC、AD，存在于△ABC 中。求正方形的边长。师：此图中有没有与△ABC 相似的三角形？为什么？

生：有，△APN∽△ABC，因为由正方形 PQMN 可知 PN∥BC。师：在△APN 中涉及正方形的边长吗？

生：涉及到了，即 PN。

师：好了，大家既然都说有三角形相似，那相似后会得到怎么样的比例式？

生：PN∥BC ⇒ △APN∽△ABC ⇒ AE

AD

= PN

BC

师：在此比例式中，AD、BC 为已知，可 AE、PN 怎么办？它是否隐含着与正方形的边长及已知线段有关系呢？

生：有，AE=AD—正方形的边长，PN 为正方形的边长。

师：很好！为使计算方便，我们可以将正方形的边长设为 xmm，则有： AE=（80-x）mm，PN=xmm。

80 − x x

从而得到了 80 = 120 的方程。

（这与列方程解应用题紧密联系起来。具体解的过程由学生各自完成， 师巡视，然后与上例比较，复述解题思路。）

师：请大家想一想，这些问题是不是实际生活中实实在在存在的，你们下去再亲自做做怎么样？

（理论联系实际。）

师：通过上面两例的学习，我们已知道相似三角形的性质完全可运用于实践，已初步掌握了求解办法。下面的问题，你们应用上述解题思路也会找到捷径的。（出示小黑板。）

例：如图，△ABC，高 AD 与高 CE 相交于点 H，P 为 AD 上的一点，连结BP、PC，且 PC2=CH·CE。

求证：∠BPC=90°。

（引导学生首先从题目中用线勾划出已知，求证。要求学生写出分析过程，师巡视，然后让一名学生讲出分析过程，师板书，同时加以补充。特别是要防止出现：PC2 = CD·CB ⇒ ∠BPC - 90°这一错误，进一步强调射

影定理的逆定理不成立。）

四、教学过程 - 图4

四、教学过程 - 图5

综合：

∠HCD = ∠BCE 

CD CE

证明： 

∠HDC＝∠BEC＝Rt∠

⇒ CD·CB＝CH·CE

⇒ △CDH∽△CEB ⇒ CH

= CB

 ⇒ PC2 = CD·CB

PC2 = CH·CE  

∠PCD = ∠BCP 

⇒ △CPD∽△CBP 

∠PDC = Rt∠

即：∠BPC=90°。

 ⇒ ∠CPB = ∠PDC = Rt∠

（有几个同学运用了证 B、D、H、E 四点共圆，然后角切割线定理的推论和三角形相似得证。）

（分析法、综合法是几何解证中常用的方法，在前面已训练过，分别法是从“未知”追索“已知”的逆向思维过程，是引导学生探索问题的思路和途径。综合法是从“已知”→“可知”→“未知”的顺向思维过程，是引导学生掌握解决问题的方法和技巧。充分挖掘几何图形的性质是运用综合法的关键。这一练习有利于培养学生的逻辑思维能力。同时

加强“相似 ⇒ 比例式 ⇒ 乘积式”三位一体教学。）

（三）小结（使用幻灯片，生齐读）

利用相似三角形解（证）此类问题的思路：

  1. 从已知、未知出发，发现或构造一对三角形。

  2. 证明三角形相似。

  3. 利用相似三角形的性质得出已知，未知的关系，再利用比例性质等知识解（证）。

（四）巩固

见书 P141—1 第 2、3 自行完成。

四、教学过程 - 图6

（五）作业

见作业本。

  1. 补充作业：（引发学生进一步将数、形结合起来。）

在△ABC 中，BD=120mm，高 AD 为 80mm，P 为 AB 上一点，作矩形 PMNQ 内接于△ABC，又 Q 在 AC 上，P 在 AB 上，M、N 在 BC 上，设 PM=x，矩形

PMNQ 的面积为 y。

①求出 y 与 x 之间的函数关系式？试确定 x 的取值范围。

②当 PM 为多少时，矩形的面积有最大值？并求之。

  1. 思考：怎样利用今天所学的办法测算河道的宽，路边电杆的高？