二、横向思维能力的培养

横向思维表现为思维的广阔性和全面性，它突破一般习题所在章节的知识范围，交叉使用几何方法、代数方法、三角方法来解决同一数学问题，使思维横向发散开来。这样就培养了学生对不同章节数学知识的串通和融化能力，此种思维方法对复习班学生尤为重要。

π

例2. 三个正方形并列如图，求证：α + β + r = 2 ．

π AB

2 AD

证法①由正方形性质知：r = 4 ，α = ∠1， AC =

∠BAD = ∠CAB．

2 = AB ．

π π

∴△ABD∽△ACB，∴β = ∠2，而∠1 + ∠2 = 4 ，∴α + β = 4 ，

π

∴α + β + r = 4 ．如图（1）

证法②，如图（2）贴补三个正方形，则由正方形性质知：β=θ，α

=ϕ，r= π ．又由勾股定理得： BE=CE= 4

1² + 2² =

5，BC=

1² + 3² =

10；

又由勾股逆定理知：BC²=BE ² +CE ² ，∴∠BEC=90°，∴ϕ+θ= π ，∴α +

4

π π π

β+r=θ+π+r= 4 + 4 = 2 ．

证法③，由正方形性质及正切定义知：

1 + 1

tgβ = 1 ，tgα = 1 ，又tg（α + β） =

tgα + tgβ = 3

2 = 1．

2 3 1− tgαtgβ

π π

1 1

1 − 3 × 2

∵ = 0＜α＜ 2 ，0＜β＜ 2 ．

π π

∴0α＜β＜π，∴α + β = 4 ．又∵r＝ 4 ，

π π π

∴α + β + r＝ 4 + 4 ＝ 2 ．

证法④，由正方形及反正切函数定义、性质得

1 1

α + β + r = arctg 3 + arctg 2 + arctgl

1 + 1

= arctg 3 1 2 1 + arctg1

1 − 3 × 2

= arctg1 + arctg1

= 2arctg1

= 2× π = π ．

4 2

证法⑤，如图（3）取直角坐标系，设正方形边长为单位长。

则 Z1=1+i，Z2=2+i，Z3=3+i，用 argZ 表示复数 Z 幅角主值，即 OZ 与 x 轴正向夹角，则由复数性质得：

r + β + α = argZ1 + argZ 2 + argZ3 = arg（Z1Z2 Z3

 π

） = arg(10i) = 2 ．

一题多解，多种数学方法同时应用，既能训练学生思维的横向发散，又可综合运用知识，使学生优选做题方法，对学生的学习兴趣有效强的激发作用。