四、利用易混题，培养学生思维的准确性

例 6 已知大圆的周长为 20 厘米，小圆的周长为 10 厘米，今使大圆不动，让小圆沿大圆的外缘成外切形的滚动（无滑动），当小圆滚过大圆一周

时，求小圆转的圈数。（图六）

分析：此题容易想到小圆转了两圈。因为小圆转两圈的周长正好等于大圆的周长。实际上小圆转了 3 圈。因为小圆沿大圆的外缘滚动一圈时，小圆本身也不由自主地转了一圈，这就多出了不易察觉的一圈。

例 7 小明做了这样一道题：

x

∵ y + z =

y

z + x =

Z

x + y ，

则利用等比的性质得

x = x + y + z = x + y + z = 1 ．

y + z y + z + z + x + x + y 2(x + y + z) 2

x − y

又∵ y + z = − z − x

再利用等比的性质得

x = x − y = x − y = −1，

y + z y + z − z − x y − x

1

∴ 2 = −1．

试说明此题错在何处。

x y z

分析：令 y + z = z + x = x + y = k，则有

x=by+kz， y=kz+kx， z=kx+ky. 三式相加得

x+y+z=2k（x+y+z），

∴（1-2k）（x+y+z）=0 其解有两种可能：

当1 - 2k = 0时，则k = 1 ，

2

∴x=y=z；

当 x+y+z=0 时，则 x=-（y+z），k=-1.由此看来，原题中

x + y + z = 1 ，

2(x + y + z) 2

1

是在x + y + z≠0时才成立的，也就是符合k = 2 ，x = y = z的条件。

另外在原题中

x

y + z

= x − y

− ( x − y)

= −1，是在y - x≠0时才成立的，也就是

符合x = -（y + z），k = -1的条件。

显然这两种情况正是矛盾的，不能同时成立，所以得出了 1 = -1的错

2

误结果。

由此可知，在应用等比的性质定理时，变换后的分母不能为零。