四、思维的深刻性

思维的深刻性是指思维活动的深刻程度。表现在计算中就是善于深入地钻研和思考问题，不满足于只算出正确的得数；善于抓住题目的特征，正确认识与揭示题目的内在联系及规律，有时还能予测题目发展的趋势与后果， 在计算中培养学生思维的深刻性，一般可以通过以下几条途径。

**第一，通过“引导发现法”进行培养。**教学时，既可通过讲授法学习， 也可通过“引导发现法”让学生主动参与到获取知识的思维过程当中去，让学生主动掌握知识，教师不必讲解干涉太多，要培养学生独立思考、主动参与的能力和习惯，这样才有利于培养学生思维的深刻性。

如，学习了“分数除法的计算法则”后的复习中，教师出示以下几道题分数除法的计算题，要求学生讨论如何用两种方法进行计算？

① 8 ÷ 2

② 9 ÷ 3

③ 10 ÷ 2

15 5

14 7

27 9

由于学生刚刚学过分数除法，所以用法则指导计算并不感到困难，而采用另一种方法进行计算，则感到不解。但在观察题目特点，联想分数除法的意义后，学生认真的思考与讨论，于是有的学生大胆地用被除数的分子、分母分别除以除数的分子、分母，发现这样计算完全正确，且可迅速口算。这样不仅解决了特殊题目的特殊解法，而且加强了分数乘、除法的联系，培养了思维的深刻性。

再如，在讲完“小数乘除法”的计算法则后，教师出示了如下几组题， 并提出要求。

先计算下面各题，再把每组中的两个商相乘，你发现了什么规律？

通过计算，学生发现每组中的两个商相乘，积都等于 1。这样安排计算， 既能巩固小数乘法和小数除法的计算法则；又能为今后学习倒数的概念打下基础；还能引起学生学习的兴趣，使学生懂得：交换被除数和除数的位置， 所得的商与原商相乘，积等于 1。

又如，在学习完“多位数乘以一位数”的整数乘法后，教师出示如下的题目。

先计算下题的前三个小题，再观察题目的特点，把其余各题补充完整， 并算出乘积，最后说一说你发现了什么规律？

1089×9

10989×9

109989×9

×9=

×9=

×9=

通过计算、观察前三道题，学生发现自上而下，被乘数中“0”的后面依次增加了一个“9”，且被乘数从右往左写就是该题的乘积；同时还发现，只读每题中的数而不读符号，每道题都成“回文数”。如：1089×9=9801，从左往右读是一零八九九九八零一，从右往左读也是一零八九九九八零一。由于抓住了规律，所以很顺利地把其余三道题补充完整了，且不必计算就可写出。

**第二，通过“比较”加以培养。**有比较才有鉴别。教师可通过比较帮助学生深刻理解比较的对象的本身特征，从而培养学生思维的深刻性。如， 用竖式计算 1476÷6 后，教师指着竖式问学生，竖式中的“12”和“24”谁大谁小，为什么？

生：“12”大，“24”小，因为“12”是 12 个百，“24”是 24 个十。

师：商中的“2”为什么写在被除数的百位上边？商中的“4”为什么写在被除数十位的上边？

这样通过比较，抓住了如何确定商的位置这一重点，有利于学生理解算理的深刻性。

再如，在计算 24.75×4+124.875×8 时，教师要求学生用不同的方法进行计算，并出示如下的三种算法，要求学生比较哪种方法简便？为什么？

方法 1：用竖式分别求积再求和，略。

方法 2：原式=（24+0.75）×4+（124+0.875）×8

=96+3+992+7

=99+999

=100-1+1000-1

=1100-2

=1098

方法 3：原式=（25-0.25）×4+（125-0.125）×8

=100-1+1000-1

=1100-2

=1098

通过比较，不仅提高了学生思维的灵活性，而且培养了思维的深刻性。

**第三，通过“练习”进行培养。**练习的目的一方面是为巩固所学的知识，形成技能技巧；更重要的是发展学生的数学思维，培养良好的思维品质。所以，精心设计富有思考价值的练习题，就显得更为重要。为此，练习决不能单纯地进行计算，必须注意培养学生思维的深刻性。例如：

① 先计算下面各题，然后观察思考，你发现了什么规律？用你发现的规

律自己编题并速算得数。

32-23= 53-35= 63-36= 95-59=

72-27= 82-28= 81-18= 91-19=

规律：若 -，且 a＞b， 则- =（a-b）×9

② 任意写一个三位数（各位上的数字均不相同），交换个位与百位上的数字，得到一个新的三位数，用这两个三位数中的较大数减较小数并求差。按以上要求计算下面各题，看得数有什么共同的规律？再自己编题速算结果。

837-738= 654-456=

784-487= 965-569=

823-328= 842-248=

932-239= 901-109=

规律：若 -，且 a＞c， 则- =（a-c）×99。

这时学生会联想到，如果一个四位数按以上要求去做，结果会怎样，有什么规律时，可引导学生自行解决。

③计算下面每组中的两道题，你发现了什么规律？然后填空。

连减或加减同级运算，可带着运算符号（交换位置），结果不变。连除或乘除同级运算，可带着运算符号（交换位置），结果不变。

注意：教学时可多出示几组题或让学生仿照此题多编几道，计算、观察后再得出结论，且不可只做一道题就下结论。

④ 先写出下面各题的详细计算过程，再想一想怎样能计算得快？

+ = + = + =

5 7 5×7 7×5 35 35 35

1 1 1×9 1×8 9 8 17

8 + 9 = 8×9 + 9×8 = 72 + 72 = 72

Λ

1 1

3 − 4 =Λ

1 1

5 − 7 =Λ

1 1

8 − 9 =Λ

规律：若（a，b）=1（即 a 与 b 互质），且 b＞a，

1 1

a ± b =

b ± a .

ab

⑤ 先写出下面各题详细的计算过程，再找规律进行速算。

2 2 2×5 2×3 (3 + 5)×2 16 1

3 + 5 = 3×5 + 5×3 = 15 = 15 = 115

2 2 2×5 2×3 (5 − 3)×2 4

3 − 5 = 3×5 − 5×3 = 15

Λ

= 15

规律：若 b＞a，且（a，b）=1，a、b、c 均为自然数，

m m (b ± a) × m

则 a ± b = ab

第四，通过“排除强信息的干扰”进行培养。在计算中，由于某些数与运算符号出示的特殊情况，常常干扰学生的思维，使学生忽视了运算顺序， 而盲目地运用简便方法，结果使计算发生错误。因此，应培养学生认真审题的良好习惯，从而增强思维的深刻性。例如：

计算下面各题，看谁算得又对又快。

① 12.5-2.5÷1.25×0.8

② 8.5+1.5×1÷0.25×4

③（0.8÷0.5-0.5×0.8）×2

④（0.8×0.5÷0.8×0.5）×0.4

综上所述，在教学中，只有不断地重视培养学生的思维品质，才能使学生既长知识，又长智慧，从而达到发展智力和培养能力的目的。