二、在数学教学中培养抽象和概括能力

抽象和概括是一个统一的、不可分割的思维过程。在数学教学中，概念、性质、法则、定律等的形成，都是经过一系列的思维活动，抽象概括的结果。

任何认识对象都有其多种属性。在这些属性中，有的是本质属性，有的是非本质属性。比如，“能制造工具并使用工具进行劳动”是人的本质属性，而性别、高矮、胖瘦、民族、肤色、文化程度等，则是其非本质属性。

抽象就是在思维过程中，对认识对象的各种属性进行“加工”，舍弃其非本质属性，把其本质属性抽出来。

概括是把抽象出来的事物的本质属性，推广到具有这些相同属性的同类事物中去，从而形成关于这类事物的普遍概念。

在思维活动中，抽象和概括是紧密地联系在一起的。没有抽象就不可能进行概括；而只有抽象，如果不去进行概括，也就不能形成普遍的概念。

现在举例，谈谈“质数与合数”的教学中怎样培养抽象与概括能力。首先，教师要求学生从下面各数中挑选出自然数：

32, 0, 2.5, 8, 9, 11, , 24, 37, 1

挑选出来的自然数有： 2，8，9，11，24，37，1分别找出它们的约数：

2 的约数有：1，2

8 的约数有：1，2，4，8

9 的约数有：1，3，9

11 的约数有：1，11

24 的约数有：1，2，3，4，6，8，12，24

37 的约数有：1，37

1 的约数有：1

再让学生按约数个数的多少将这些数加以整理，得到：只有两个约数的数：2，11，37

有三个以上约数的数：8，9，24 1 的约数只有 1。

可以看出：2，11，37 的约数只有 1 和它本身；8，9，24 除了 1 和它本身以外，还有别的约数。

这样，我们就已经抽象出了质数与合数的本质属性，再把它推广到具有这些属性的同类事物中去，形成普遍的概念。于是有：

一个数，只有 1 和它本身两个约数，这个数就叫做质数（也叫做素数）；

一个数，除了 1 和它本身还有别的约数，这个数就叫做合数。

1 既不是质数也不是合数。

概念形成之后，还要检验学生是否已正确掌握，可做如下的练习：判断下面各数是质数还是合数：

19，15，2，83，1996

学生会很快作出判断：

19 是质数，因为它只有 1 和 19 两个约数；

15 是合数，因为它的约数除了 1 和 15，还有 3 和 5；

2 是质数，因为它的约数只有 1 和 2；

83 是质数，因为它只有 1 和 83 两个约数。

1996 是质数还是合数？因为数大，有些学生可能无法马上作出判断，但有的学生能马上说出它是合数。理由是：1996 个位上的数字是 6，说明 1996 能被 2 整除，这样，1996 的约数除了 1 和本身以外，至少还有一个 2，所以， 1996 是合数。

通过检验，说明学生已正确掌握了质数与合数的基本概念，抓住了其本质属性。同时也弄清了质数与合数与数的大小，数的奇偶性无关，也就舍弃了其非本质的属性。