回避问题

维尔特拉的系统是古典运动的一个例子，而这个例子拉普拉斯是应该证实的。混沌是什么？普安卡雷的天文学研究主要是技术上的研究，但幸运的是，我们可以从更简单的例子中对这门科学得到清楚的了解。我将使用一个鸭子的图画表明、混沌并不非常神秘。

我们已经知道，用动力系统的方法能够根据现在的状态，有效地预测其未来的状态，但仅是未来的小事情。动力系统的方法是根据现在的状态，应用确定的转换方式，推断出下一件事情的状态。如果我们要预测未来几件事情的行为，我们就重复这个过程，即我们知道的重复的过程。我们可以从公式中得出转换方式，也可以从几何描述中得出转换方式。比如，F（X，Y）

（ 1 X， 1

2 2

Y）公式，可以解释为“将所有的东西都缩小一半”。如果我们重

复这个公式会有什么结果呢？图 3a 清楚地显示了一个志愿做实验的鸭子的变化。所有的东西都在缩小、缩小，直至按照我们的意愿最后缩成一个点， 这个点叫做确定点。这个确定点是动力恒稳定状态的几何替代表达方式。如

果你坐在这个确定点上，那么就没有任何事情发生。鸭子围绕着这个点稳定地缩小，但是你本人不要动。这个缩小的鸭子显示，无论其初始状态如何， 长期的状态总是保持在（或至少非常接近）那个确定的点上。我们已经没有必要进行复杂的计算，看能发生什么事情，从几何图形上就可以直接地清楚地理解这一点。

让我们试一下另一种重复。这回我们使用“通过直角旋转”转换法。图3b 显示，鸭子翻转、翻转、再翻转，到第四个翻转时，鸭子完全回转到最初位置。之后，运动再次重复。这时我们就有了周期性的运动，每个阶段为四个步骤。我还可以用同样的方法为你们显示半周期运动：鸭子的转动角度不是 360 度通约运动。鸭子的持续翻转是在同一位置、几乎相同的间隔时间进行的，但是，鸭子将永远不会精确地回到初始的位置上。

所有的这些运动都可以用以公式为基础的方式解释，这主要是因为最后结果非常简单和直观。现在让我们试一个稍微复杂一些的运动方式：让我们像面包师揉面团一样捏出平面的物体。拿一团面，向两边拉拽，然后折叠面团，再重复。这种转换的理想模式是在平面四方形上进行，将物体向两边拉拽两倍宽、0.5 倍高，从中间切断，将左边的一半放在原四方形中的下部， 右边一半放在上部，使之上下颠倒。图 3c 显示我们这只正在长时间受苦的鸭子发生的变化：鸭子变得很长，几乎完全分离。你可以想象一下，再经过几次重复，整个四方形区域将呈现出一致的灰色，即使你将图移到距离眼睛很近的地方看，你看到的也只是黑白相间的平行线组成的图形，就像多层的糕饼，这时我们可以将它叫做 canard encroute （一种将烤鸭放在面包上的法国食品——译注）。古典数学可以很容易地为一个转换写出一个方程式，但是这个方程式却无法解开这个转换过程，发现这个物体翻转许多次后的最终结果。

这就是混沌：发生在完全确定的系统内的高度复杂、无序、几乎是随意的行为。这项革命的新发现变成了几个世纪以来厨师们所熟知的事情：不断重复、不断揉捏的翻转将所有的东西掺和到一起。这个掺和过程的最终结果，即动力作用形成的多层点心，竟然如此复杂，以至于用一个简单的公式是完全不能解释的。