图形发现

数学家研究方法中的两个重大改变对于发现混沌具有关键性的意义。在理性思维方面，要求脱离公式，转向几何思维，从量转向质。但是只有质的结果并不总是非常有用的，必须发现传统公式的一些量的替代作用。这个问题被新技术解决了，这就是具有巨大存储功能和能制作精确图形的速度很快的计算机的发明。按照解释未来状态和用数字表列出结果的程序，我们用计算机能够解开这个方程式。另外，为了达到能够快速理解的目的，我们可用

图形将计算的结果画出来。

图 4 显示的是用白血球细胞产生的数学模型预测的一些未来成果。按照生理学过程设计的模型，假设人体觉察出血液中白细胞减少，并传送出从所谓的干细胞中生产更多白细胞的化学信号，细胞成熟需要时间延迟，然后才能释放血流。当血流中的数量过大，化学信号就关闭，干细胞生产白细胞的过程即停止。这个调节机制非常像恒温器，但是，由于时间延迟很长，因此运转的过程较慢。（目 4）来自于白血球细胞产生的模型的结果的较短时间延迟产生了有规则的波动

U 较长时间的延迟产生了明显的没有确定形态的混乱这个模型的数学方程式不超过 20 个符号。它们包括两个可调节的数字：一个控制干细胞对需要生产新白血球细胞的回答；一个控制成熟所需的时间延迟。以前我们不知道这个解式，也不知道这些数字的改变对行为是否有重大的影响。但是，用电脑得出的数字能够毫无困难地回答这些问题。我们可能非常盼望白血球细胞的数量能够在某种恒稳定的状态下处于稳定的水平上——准确的白血球细胞数量。但是电脑计算的结果显示出细胞数量的几种差异很大的波动。在较短的时间延迟中，细胞的数量在非常简单的形态中产生周期性的波动；在中度时间延迟中，虽然波动仍然是周期性的，但是，看起来比较短时间延迟的波动周期复杂了一些；在较长的时间延迟中，波动完全没有了明显的形态。波动既不是周期性的，也不是半周期性的。相反，它们看起来是随意的、无规则的、无确定形态的和不可预测的。

这种观点与拉普拉斯的成功的确定论相去甚远。我们没有对整个世界的未来作出任何完全正确的预测，相反，我们发现了用一种非常简单化的方式，用 20 个符号组成的方程式描述的不可预测的行为，人类身体内一个很小的子系统内的行为。

在这个研究中我们发现的是，时间延迟对于细胞产生了重要的影响，使得干细胞对错误的命令作出反应。白细胞的数量要么多于，要么少于目标值，就像一个失灵的恒温器：不是在恰当的时候作出小反应，而是在太晚的时候作出大反应。这种现象与维尔特拉的鱼的数量的周期波动没有什么差异，但是，在那个例子中，改变方程式的数字不会导致混沌。在这里，当时间延迟足够长时，系统就忘记了前面的状态；当命令到达时，系统就改变为另一个完全独立的状态。根据这个几何图形的描述，从血流过来的反馈信号转换为正在生产的白细胞的数量，而时间延迟延长了动力。如果没有过多的延长，图 3b 所描述的转换动作就会作出周期性的回答；但是，如果有足够的延长，我们所能得到的就是图 3c 所描述的混乱的参差不齐的状况。