模糊对称

什么可能的装置能产生这样令人感到奇怪的混合现象？我们目前所得出的最终结果还不是一个非常令人信服的观点，我们还没有一种能够解开所有难题的基本的数学方法。我们还不能肯定哪种数学方法能解答泰勒-库埃特流中具有形态的湍流的状态，计算实在是太复杂了！但是，它肯定可以在其他系统中起到同样的作用，特别是电子线路。

解开具有形态的湍流的关键在于说明这种湍流与对称之间的关系。泰勒

-库埃特装置具有高度的对称性，因此，流动的形态就具有对称性，即使是湍急的流态也是如此。最为明显的对称就是旋转：如果整个装置在同一个角度进行转动，那么，看起来，其实质就是完全一样的。在一个水平面上通过其中心而产生的旋转也有反射引起的对称性。最后，它还有近似对称性：一个非常长的汽缸可以沿其轴心作曲线运动。这不是精确对称，因为一端伸出运动范围以外，但是这并不会对中段产生太大的影响。事实上，标准的泰勒

-库埃特系统的数学模型使用的是无限长的汽缸，与轴心并行的曲线运动是精确的对称。

流动形态怎么样呢？流动形态显示出，每种形态都具有自己的对称。库埃特流具有与其装置同样精确的对称。因为它没有形态，因此，如果它作出反射、旋转或曲线运动的话，看起来是完全一样的。库埃特流有很多的形态

（在任何地方都是一样），但是却没有任何效应。泰勒涡旋在其旋转时看起来是完全相同的：每个独立的涡旋都有环形对称。平面的反应性对称也是同样的：如果你将一个涡旋倒置，它看起来与以前没有什么不同。由于泰勒涡旋是条纹形态，唯一的旋转对称是汽缸的移动与全部条纹数目相一致。

那么湍急流呢？从技术上讲，这些形态没有什么对称。但是， 如果你将湍流的细致结构忽略掉，将它看成其他的结构，那么，这种流就具有许多对称。泰勒的湍流涡旋有涡旋层和条纹结构。如果我们将湍流的精细结构忽略，这就是模糊泰勒涡旋，如果再将模糊中精细的部分忘掉，它就具有了与泰勒涡旋同样的对称。但是，这在数学上有一个问题：我们怎样过滤掉这些精细的结构？模糊对称没有很完善的理论：回答就是重新解释所有的形态， 这样，模糊对称就变成真正的对称了。为了做到这一点，我们要回到基本的问题上来并要提出一个简单但却是重要的问题：一个系统的对称是怎样影响其动力的？特别是，对称对无序的影响是怎样的？

在这里我们必须确定动力系统具有对称性意味着什么。回答是，每个对称中的时刻与相对应的点必须永远向与对称相关的地方移动。对称动力的结果是，相应的引力物，或其他引力物，可能也有对称。动力系统的对称有时会少于整个系统的对称，这种现象就是我们所知道的对称破坏。许多数学家一直对动力的对称问题进行研究，特别是帕斯科尔·科萨特、迈科·弗尔德和马丁·高卢毕斯基用电脑模拟对对称混沌现象的研究。他们编制了有引力点的分离的动力系统，这些动力系统的对称与有序的多边形的对称是同样的

（图 8）。另外，与对称有关的引力点有时会相互冲撞，产生有更多对称的新引力点。这与泰勒的湍急涡旋的产生非常相似，由此可以推测，基本数学方法是相同的。在一般的引力点世界中，引力点破坏，对称就消失。但是， 在奇妙的引力点世界中，引力点越多，对称也就越多。

这个简单的例子揭示了两个基本原理：第一，对称动力系统经常有数个不同的引力点，由对称转换相连接；第二，每个引力点能产生一个具有更对称的奇妙引力点。

现在我们明白了对称和动力可以共同产生引力点，这些引力点将有序

（对称）和无序（非对称）结合在一起。在沃维克大学的非线性系统实验室， 彼得·阿士文和格雷戈·金进行了实验，以证实这两个原理。他们的装置是一个电子线路，在这个电子线路中，有 3 个或更多相同的震荡器，它们被对称地连接在一起并用示波器进行观察。结果数据由电脑进行处理，以显示引力点产生对称的过程。他们发现，无序的引力点产生各种不同的对称，对称

产生的过程中会发生冲撞。