相 图

当你要解开一个方程式时，你如何才能寻找到解式？很明显，你必须从其他一些方面解决整个问题。数学家们发现，即使你根本就写不出一个方程式，但是，具体设置一个解式则是可能的。这种思想大约在 1900 年伟大的法国数学家亨利·普安卡雷（1854～1912）所进行的天文学研究中得到印证， 他的发现成为混沌的第一批发现之一。尽管普安卡雷在获得发现之后就没有取得应该取得的成果，但是他为研究动力系统提出了一种有效的新方法。这种方法建立在一种新的几何学的基础上，他把这种方法称为定点分析

（ana1ysis situs），但是我们现在将其称作拓扑学：连续过程的解析几何。

普安卡雷没有将注意力死盯在解式的公式上，而是设想了一个多维的空间，这个空间中的坐标就是系统的变量。空间的每个点代表了一整个坐标， 也就是确定所有变量的值的数字。系统的每个可能状态都与相的空间的每个点相一致。

按照力学原理，随着时间的推移，时间发生变化。具有代表意义的点移动，在相的空间上形成曲线。动力过程的解式由曲线来表示。将这些曲线集中在一起就会得出综合的情况。这个在一个几何图形上显示的相图不仅能显

示出系统的情况，而且能做所有能够做的事情。人们经常不需要为解式找出公式，而经常可以在相图上就能进行确定，得到整体量的变化，因为通过研究相图的几何学就能解决力学上的问题。

几乎我们所有的对于动力系统的理解都是通过这种几何学方法进行的。比如，意大利数学家维托·维尔特拉（1860～1940）为地中海的以捕食其他鱼为生的鱼和食物鱼的数量设计了一个简单的模型。他试图用这个模型对生物学家乌姆伯托·德·安考纳好奇的观察作出解释：在第一次世界大战期间，当捕鱼量下降时，捕获物中以捕其他鱼为生的鱼的比例更大。维尔特拉发现了这种现象的原因：数量的变化是具有波动周期的，如果数量平均的话，在一定程度上，对以捕其他鱼为生的鱼有利。图 2 是表示这个发现的几何图形：维尔特拉方程式的相图。解式曲线是封闭的圈，这些圈的系的方程式相图，封闭的圈表示周期运动中心是一个点。这个点代表了恒稳定解式， 以捕其他鱼为生的鱼和食物鱼的数量比例绝对平衡。封闭的圈代表了周期解式。周期性从本质上讲是两部分鱼的数量的延迟反映的结果。设想一下，如果食物鱼的数量多，那么，以捕其他鱼为生的鱼的数量就会少。如果以捕食其他鱼为生的鱼数量上升，那么食物就会大量减少。由于以捕其他鱼为生的鱼的生殖率比较低，因此，这种鱼的数量总是低于能继续生存的食物鱼数量。捕食其他鱼的鱼的数量在下降，但是，除非其数量下降到非常低的程度， 否则，食物鱼的数量就不可能大幅度增长。一旦以捕其他鱼为生的鱼的数量远远不足，那么，有更强生殖能力的食物鱼的数量就会呈爆炸式地增长，新的周期又开始了。