奇妙的引力点

劳伦兹在他的方程式中还发现了其他一些东西。传统的用图表表示数字数据的方法是按时间顺序，即数字表进行排列，每个数字是每一个时刻的量的测量记录。当用时间序列表示研究数据时，劳伦兹方程式的数据波动很大。然而，当这些数据不用时间顺序表示，而是按照普安卡雷的建议，用相图表示时，出现了更多的有序现象。这就是一个在三维的空间中的曲线系统。劳伦兹的方程式中的数据，用曲线在这些看起来很简单的几何面上，表现出类似隆·兰哲面具的图形（图 5）。无论你从什么位置上开始画曲线， 只要这些曲线按照方程式的起点在面具上画，那么曲线就围绕着一层一层缠绕起来。

这种模式称作引力物，因为所有的起点都被动力吸引到引力物本身。比如，图 3a 中的被压缩的鸭子明显地被吸引到一个固定的点。恒稳定状态中的引力点是一个单一的点，在周期波动中它表现为一个封闭的圈，在半周期运动中它又是一个环形圆纹曲面——几个独立的圈的混合体。劳伦兹发现了人们现在已经了解的奇妙的（无序的）引力物，它既不是一个点，也不是一个圆，也不是一个环形圆纹曲面。奇妙的引力物组成的动物故事书很长，但是，这本书中的大部分仍然是空白的。最普通的奇妙的引力物至少在理智上是很好理解的，尽管其原理没有得到彻底证实，而仅仅得到电脑实验的证实。混沌学家的动物寓言在近几年增加了很多。结果，我们现在已经能够分辨出过去看起来是随意的数据的形态：比如，我们在前面谈到的白细胞的剧烈波动的形态，可以被解释为一个引力物的运动，这与劳伦兹的理论是一致的。

在明显随意的数据中分辨出新形态的能力是一把双刃剑。我们认为许多图形是随意的混乱的，但是事实上可能显示出隐藏的有序。任何真正的科学家都不会放过将这种有序的东西挖掘出来，并用其解决一些问题。但是我们花钱所获得的这些新知识得到的却是这样一种现实，即非常简单的模型用非常复杂的方式进行运动。设立出正确的方程式可能也并不能告诉我们很多解决问题的方法。

无规则确实无所不在吗？让我们再回到拉普拉斯的理论上来。从哲学上看，可能不是这样的：所有的事物都受其固定的规律的支配，这些规律可能异常地简单或可怕地混乱。但是在实际操作中，当我们分辨不出真正的图形或不能确定是否存在有真正的图形时，无序是存在的。在自然中，明显的无序行为经常是我们没有进行过分析的外界影响的结果。但是，同样不可预测的东西却能够依靠动力在内部产生，其运动却是混乱的。如果连接为一体的引力点是非常复杂、非常多维的，那么隐藏在其中的几何图形就超出人脑的识别能力了。